2018-07-18 10:19:03 +02:00
\section { Höhere Ableitungen und \person { Taylor} -scher Satz} \proplbl { section_ taylor} \setcounter { equation} { 0}
\begin { *definition} [zweite Ableitung]
Betrachte nun $ f:D \subset K ^ n \to K ^ m $ , $ D $ offen, $ f $ \gls { diffbar} auf $ D $ . Falls $ g: = f':D \to L ( K ^ n, K ^ m ) = : y _ 1 $ \gls { diffbar} in $ x \in D $ ist, heißt \begin { align}
f''(x) := g'(x)\in L(K^ n, Y_ 1) = L\big ( K^ n, \underbrace { L(K^ n, K^ m)} _ { \cong K^ { m\times n} } \big )
\end { align}
\begriff { zweite Ableitung} von $ f $ in $ X $ .
\end { *definition}
\begin { *definition} [$ k $ -fach differenzierbar]
$ f $ heißt \begriff { $ k $ -fach differenzierbar} (auf $ D $ ), falls $ f ^ { ( k ) } $ (x) existiert $ \forall x \in D $ .
$ f $ heißt $ k $ -fach stetig \gls { diffbar} (auf $ D $ ) oder $ C ^ k $ -Funktion, falls $ f $ $ k $ -fach \gls { diffbar} und $ f ^ { ( k ) } :D \to Y _ k $ stetig.
$ C ^ k ( D, K ^ m ) : = \{ f:D \to K ^ m \mid $ f$ \text { $ k$ - fach stetig \gls { diffbar } auf $ D$ } \} $
\end { *definition}
\begin { boldenvironment} [Speziafall $ n = 1 $ ]
$ f:D \subset K \to K ^ m $ \\
\begin { tabularx} { \linewidth } { r@{ $ \; $ } l@{ $ \, $ } c@{ $ \, $ } X}
$ f' ( x ) $ & $ \in Y _ 1 = L ( K, K ^ n ) $ & $ \cong $ & $ K ^ m $ \\
$ f'' ( x ) $ & $ \in Y _ 2 = L ( K, Y _ 1 ) $ & $ \cong $ & $ L ( K, K ^ m ) \cong K ^ m $
\end { tabularx}
Allgemein: $ f ^ { ( k ) } ( x ) \in Y _ k = L ( K, Y _ { k - 1 } ) \cong L ( K, K ^ m ) \cong K ^ m $ , d.h. für $ n = 1 $ kann $ f ^ { ( k ) } ( x ) $ stets als $ m $ -Vektor in $ K ^ m $ betrachtet werden.
\end { boldenvironment}
\begin { example}
\proplbl { tayler_ hoehere_ ableitungen_ beispiel_ 4}
Sei $ f: \mathbb { R } \to \mathbb { R } $ mit \begin { align*}
f(x) & = \begin { cases}
e^ { -\frac { 1} { x} } & x > 0 \\
0 & x\le 0
\end { cases}
\end { align*}
$ \Rightarrow $ $ f ^ { ( k ) } ( x ) $ existiert $ \forall x \in \mathbb { R } $ , $ k \in \mathbb { N } $ mit $ f ^ { ( k ) } ( 0 ) = 0 $ $ \forall k $ , d.h. $ f \in C ^ k ( \mathbb { R } , \mathbb { R } ) $ $ \forall k \in \mathbb { N } $ .
Man schreibt auch $ f \in C ^ \infty ( \mathbb { R } , \mathbb { R } ) $
\end { example}
\begin { boldenvironment} [Räume $ Y _ k $ ] $ = L ( K ^ n, Y _ { k - 1 } ) \cong K ^ { m \times n ^ k } $ .
\end { boldenvironment}
Für $ A \in Y _ k = L ( K ^ n, Y _ { k - 1 } ) $ und $ y _ 1 , \dotsc , y _ k \in K ^ n $ gilt:
\begin { tabularx} { \linewidth } { l@{ $ \, $ } l@{ $ \, $ } X}
$ A \cdot y _ 1 $ & $ \in Y _ { k - 1 } $ & $ = L ( K ^ n, Y _ { k - 2 } ) $ ,\\
$ ( A y _ 1 ) \cdot y _ 2 $ & $ \in Y _ { k - 2 } $ & $ = L ( K ^ n, Y _ { k - 3 } ) $ \\
& $ \vdots $ & \\
$ ( \dotsc ( A y _ 1 ) y _ 2 ) \dotsc \cdot y _ k ) $ & $ \in Y _ 0 $ & $ = K ^ m $
\end { tabularx}
Ausdrücke links sind offebar linear in jedem $ y _ j \in K ^ n $ separat, $ j = 1 \dotsc ,k $
\begin { *definition} [$ k $ -lineare Abbildung]
Betrachte \begin { align*}
X_ k & := L^ k(K^ n, K^ m) \\
& := \{ B: \underbrace { K^ n \times \dotsc \times K^ n} _ { \text { $ k $ -fach} } \to K^ m \mid y_ j \to B(y_ 1, \dotsc , y_ k) \text { linear für jedes $ j = 1 , \dotsc ,k $ } \}
\end { align*}
$ B \in X _ k $ heißt \begriff { $ k $ -lineare Abbildung} . $ X _ k $ ist Vektorraum.
\end { *definition}
\begin { example}
Für 3-lineare Abbildung $ B \in L ^ 3 ( \mathbb { R } , \mathbb { R } ^ 2 ) $ mit \begin { align*}
B(x,y,z) & = \begin { pmatrix}
xyz \\ (x+y) z
\end { pmatrix}
\end { align*}
ist z.B. \emph { nicht} linear als Abbildung auf $ \mathbb { R } ^ 3 $ .
\end { example}
\begin { proposition}
\proplbl { taylor_ ismomorphismus_ yk_ xk}
Für $ k \in \mathbb { N } $ ist $ I _ k:Y _ k \to X _ k $ mit \begin { align}
\proplbl { taylor_ isomorphismus_ yk_ xk_ eq}
(I_ k A)(y_ 1, \dotsc , y_ k) & := \left ( \dotsc \big ( (A y_ 1) y_ 2\big ) \dotsc y_ k\right ) \quad \forall A\in Y_ k,\; y_ j\in K^ n,\; j=1,\dotsc ,k
\end { align}
ein Isomorphismus bezüglich der Vektorraum-Struktur (also $ X _ k \cong Y _ k $ ).
\begin { underlinedenvironment} [Hinweis]
Somit kann $ f ^ { ( k ) } ( x ) $ auch als Element von $ X _ k $ betrachtet werden, d.h. $ f ^ { ( k ) } ( x ) \in X _ k = L ^ k ( K ^ n, K ^ m ) $
Damit wird z.B. \eqref { taylor_ definition_ hoehere_ ableitung_ zwei} zu \begin { align}
f'(x+y)\cdot z & = f'(x)\cdot z + f''(x)\cdot (y,z) + o(\vert y \vert )\cdot z\quad \forall z\in K^ n
\end { align}
und für $ n = 1 $ gilt \begin { align*}
f^ { (k)} (x) (y_ 1, \dotsc , y_ k) & = \underbrace { f^ { (k)} (x)} _ { \in K^ m} \cdot \underbrace { y_ 1 \cdot \dotsc y_ k} _ { \mathrlap { \text { Produkt von Zahlen} } } \quad \forall y_ j \in K
\end { align*}
\end { underlinedenvironment}
\end { proposition}
\begin { proof}
$ I _ k $ offenbar linear auf $ Y _ k $ , $ I _ k $ injektiv, denn $ I _ k ( A ) = 0 $ \gls { gdw} $ A = 0 $
Zeige mittels Vollständiger Induktion: $ I _ , $ surjektiv.
\begin { tabularx} { \linewidth } { @{ } lX}
\emph { IA:} & Offenbar ist $ X _ 1 = Y _ 1 $ und $ I _ 1 A = A $ $ \Rightarrow $ $ I _ 1 $ surjektiv \\
\emph { IS:} & Sei $ I _ k $ surjektiv und wähle beliebiges $ B \in X _ { k + 1 } $ .
Setze $ \tilde { B } _ { y _ 1 } : = B ( y _ 1 , \, \cdot \, , \dotsc , \, \cdot \, ) \in X _ k $ $ \forall y _ 1 \in K ^ n $ , $ \tilde { B } \in L ( K ^ n, X _ k ) $
\end { tabularx}
\zeroAmsmathAlignVSpaces *
\begin { flalign}
\proplbl { taylor_ ismorphismus_ yk_ xk_ beweis_ eq_ 6}
\phantom { \emph { \texttt { IA:} } \ \ \ } \; & \Rightarrow \; \; A:=I_ k^ { -1} \tilde { B} \in L(K^ n, Y_ k) = Y_ { k+1} & \\
\notag & \; \begin { alignedat} { 2} \Rightarrow \; \; (I_ { k+1} A)(y_ 1,\dotsc ,y_ { k+1} ) & \overset { \eqref { taylor_ isomorphismus_ yk_ xk_ eq} } { =} \left ( \dotsc \big ( (Ay_ 1)y_ 2 \big ) \dotsc y_ { k+1} \right ) & \; =\; & \big (I_ K(Ay_ 1)\big ) (y_ 2, \dotsc , y_ { k+1} )\\
& \overset { \eqref { taylor_ ismorphismus_ yk_ xk_ beweis_ eq_ 6} } { =} (\tilde { B} y_ 1)(y_ 2, \dotsc , y_ { k+1} ) & \; =\; & B(y_ 1, \dotsc , y_ { k+1} )
\end { alignedat}
\end { flalign}
\begin { tabularx} { \linewidth } { @{ } ll@{ \ \ } X}
\phantom { \texttt { IS:} } & \ $ \Rightarrow $ & $ B = I _ { k + 1 } \cdot A $ $ \Rightarrow $ $ I _ { k + 1 } $ surjektiv
\end { tabularx}
$ \Rightarrow $ $ I _ k $ Isomorphismus
\end { proof}
\begin { boldenvironment} [Norm] in $ X _ k $ , $ Y _ k $ : für $ A \in Y _ k $ folgt durch rekursive Definition \begin { align}
\notag
& \left (\dotsc \left ( \left ( A \frac { y_ 1} { \vert y_ 1\vert } \right ) \frac { y_ 2} { \vert y_ 2 \vert } \right ) \dotsc \frac { y_ k} { \vert y_ k \vert } \right ) \le \Vert A\Vert _ { Y_ k} \quad \forall y_ j\in K^ n,\; y_ j\neq 0 \\
\proplbl { taylor_ hoehere_ ableitungen_ norm}
\Rightarrow \; \; & \left ( \dotsc \big ( (Ay_ 1) y_ 2 \big ) \dotsc y_ k \right ) \le \Vert A \Vert _ { Y_ k} \vert y_ 1\vert \vert y_ 2\vert \dotsc \vert y_ k\vert \quad \forall y_ 1\, \dotsc ,y_ k\in K^ n
\end { align}
Norm für $ A \in X _ k = L ^ k ( K ^ n, K ^ m ) $ : \begin { align*}
\Vert A\Vert _ { X_ k} := \sup \{ \vert A(y_ 1, \dotsc , y_ k)\vert \mid y_ j \in K^ n,\; \vert y_ j\vert \le 1 \}
\end { align*}
Analog zu \eqref { taylor_ hoehere_ ableitungen_ norm} folgt für $ A \in X _ k $ :\begin { align}
\proplbl { taylor_ hoehere_ ableitung_ abschaetzung_ norm}
\vert A(y_ 1, \dotsc , y_ k)\vert \le \Vert A\Vert _ { X_ k} \vert y_ 1 \vert \cdot \dotsc \cdot \vert y_ k\vert \quad \forall y_ j\in K^ n
\end { align}
\end { boldenvironment}
\begin { proposition}
Mit Isomorphismus $ I _ k: Y _ k \to X _ k $ aus \propref { taylor_ ismomorphismus_ yk_ xk} gilt: \begin { align*}
\Vert I_ (A)\Vert _ { X_ k} & = \Vert A \Vert _ { Y_ k} \quad \forall A\in Y_ k
\end { align*}
\end { proposition}
\begin { proof}
Selbststudium / ÜA
\end { proof}
\subsection { Partielle Ableitungen}
Sei $ X = ( x _ 1 , \dotsc , x _ k ) \in K ^ n $ ; d.h. $ x _ j \in K $ , $ e _ 1 , \dotsc , e _ k $ die Standard-Einheitsvektoren
\begin { boldenvironment} [Wiederholung]
Partielle Ableitung $ f _ { x _ j } ( x ) = \frac { \partial } { \partial x _ j } f ( x ) = D _ { x _ j } f ( x ) $ ist Richtungsableitung $ f' ( x, e _ j ) = D _ { e _ j } f ( x ) \in L ( K, K ^ m ) $ .
\end { boldenvironment}
\begin { *definition} [partielle Ableitung]
Nenne $ f _ { x _ 1 } ( x ) , \dotsc , f _ { x _ 1 } ( x ) $ \uline { partielle Ableitung } \begriff [partielle Ableitung!] { 1. Ordnung} von $ f $ in $ X $
Für $ g:D \to X $ definieren wir die partielle Ableitung $ \frac { \partial } { \partial x _ j } g ( x ) = g _ { x _ j } ( x ) \in L ( K, X ) $ analog zu \propref { richtungsableitung} :\begin { align}
g(x + t\cdot e_ j) & = g(x) + g_ { x_ j} (x)t + o(t), \; t\to 0,\; t\in K
\end { align}
Für $ g = f _ x:D \to L ( K, K ^ m ) $ ist dann $ g _ { x _ j } \in L \big ( K, L ( K, K ^ m ) \big ) $ . Für $ g = f _ { x _ j } : D \to L ( K, K ^ m ) $ ist dann $ g _ { x _ j } \in L ( K, L ( K, K ^ m ) ) \cong L ^ 2 ( K, K ^ m ) \cong K ^ m $
die \begriff { partielle Ableitung} $ f _ { x _ i x _ j } ( x ) $ von $ f $ in $ x $ nach $ x _ i $ und $ x _ j $ .
Andere Notation: $ \frac { \partial ^ 2 } { \partial x _ j x _ i } f ( x ) , D _ { x _ i x _ j } f ( x ) , \dotsc $
Die $ f _ { x _ i x _ j } ( x ) $ heißen \uline { partielle Ableitung} \begriff [partielle Ableitung!] { 2. Ordnung} von $ f $ in $ x $ .
Mittels Rekursion \begin { align}
\proplbl { taylor_ partielle_ ableitung_ definition_ 10}
f_ { x_ { j_ 1} \dots x_ { j_ k} } (x) := \frac { \partial } { \partial x_ i} f_ { x_ { i_ 1} \dots x_ { j_ k} }
\end { align}
erhält man schrittweise die \uline { partielle Ableitung} \begriff [partielle Ableitung!] { der Ordnung $ k \in \mathbb { N } $ } von $ f $ in $ x $ : \begin { align*}
f_ { x_ { j_ 1} \dots x_ { j_ k} } (x) = D_ { x_ { j_ 1} \dots x_ { j_ k} } f(x) = \frac { \partial ^ k} { \partial x_ { j_ k} \dots \partial _ { x_ { j_ 1} } } f(x) \in L^ k(K, K^ m)
\end { align*}
Berechnung durch schrittweises Ableiten von $ x _ { j _ 1 } \to f ( x _ 1 , \dotsc , xn ) $ , $ x _ { j _ 2 } \to f _ { x _ { j _ 1 } } ( x _ 1 , \dotsc , x _ n ) $ usw.
\end { *definition}
\begin { example}
\proplbl { taylor_ partielle_ ableitungen_ beispiel_ 9}
Sei $ f: \mathbb { R } ^ 2 \to \mathbb { R } $ mit $ f ( x,y ) = y \sin x $ $ \forall x,y \in \mathbb { R } $ und \begin { align*}
f_ x(x,y) & = y\cos x & f_ y(x,y) & = \sin x\\
f_ { xx} (x,y) & = -y\sin x & f_ { yy} (x,y) & = 0 \\
f_ { xy} (x,y) & = \cos x & f_ { yx} (x,y) & = \cos x
\end { align*}
\begin { boldenvironment} [Beobachtung]
$ f _ { xy } ( x,y ) = f _ { yx } ( x,y ) $
\end { boldenvironment}
\end { example}
Abkürzende Schreibweise: \begin { align*}
f_ { x_ j x_ j x_ j} (x) & = \frac { \partial ^ 3} { \partial x_ j \partial x_ j \partial x_ j} f(x) = \frac { \partial ^ 3} { \partial x_ j^ 3} f(x) \\
2018-07-20 14:35:45 +02:00
f_ { x_ i x_ j x_ j x_ l x_ l} f(x) & = \frac { \partial } { \partial x_ l^ 2 \partial x_ j^ 2 \partial x_ i} f(x)
2018-07-18 10:19:03 +02:00
\end { align*}
\begin { *definition} [\person { Hesse} -Matrix]
Für $ m = 1 $ (d.h. $ f:D \subset \mathbb { R } ^ n \to K $ ) ist
\begin { align*}
\begin { pmatrix}
f_ { x_ 1 x_ 1} (x) & \dotsc & f_ { x_ 1 x_ n} (x) \\
\vdots & & \vdots \\
f_ { x_ n x_ 1} (x) & \dotsc & f_ { x_ n x_ n} (x)
\end { pmatrix} & =: \mathrm { Hess} (f)
\end { align*}
die \begriff { \person { Hesse} -Matrix} , die alle partiellen Ableitungen 2. Ordnung enthält.
\end { *definition}
\begin { example}
\proplbl { taylor_ partielle_ ableitung_ beispiel_ 10}
Sei $ f = ( f _ 1 , f _ 2 ) : \mathbb { R } ^ 2 \to \mathbb { R } ^ 2 $ mit \begin { align*}
\begin { pmatrix}
f_ 1(x_ 1, x_ 2) \\ f_ 2(x_ 1, x_ 2)
\end { pmatrix} = \begin { pmatrix}
x_ 1^ 2 x_ 2 \\ x_ 1 x_ 2 + x_ 2^ 2
\end { pmatrix}
\end { align*}
Folglich \begin { align*}
f_ { x_ 1} (x_ 1, x_ 2) & = \begin { pmatrix}
2 x_ 1 x_ 2 \\ x_ 2
\end { pmatrix} & f_ { x_ 2} (x_ 1, x_ 2) & = \begin { pmatrix}
x_ 1^ 2 \\ x_ 1 + 2 x_ 2
\end { pmatrix}
\end { align*}
und \begin { align*}
\begin { pmatrix}
2 x_ 1 x_ 2 & x_ 1^ 2 \\ x_ 2 & x_ 1 + 2x_ 2
\end { pmatrix}
\end { align*}
ist die \person { Jacobi} -Matrix sowie
\begin { align*}
\textrm { Hess} (f_ 1) & = \begin { pmatrix}
2 x_ 2 & 2 x_ 1 \\ 2x_ 1 & 0
\end { pmatrix} & \textrm { Hess} (f_ 2) & = \begin { pmatrix}
0 & 1 \\ 1 & 2
\end { pmatrix}
\end { align*}
Anschaulich: alle partiellen Ableitungen 2. Ordnung bilden eine 3D Matrix.
\end { example}
\begin { theorem}
\proplbl { taylor_ partielle_ ableitung_ zusammenhang_ hoehere_ ableitung}
Sei $ f:D \subset K ^ n \to K ^ m $ , $ D $ offen, $ x \in D $ . Dann \begin { enumerate} [label={ (\alph * )} ]
\item Falls $ f ^ { ( k ) } ( x ) $ existiert, dann existieren alle partiellen Ableitungen der Ordnung $ k $ in $ x $ und \begin { align}
\proplbl { taylor_ partielle_ ableitung_ zusammenhang_ hoehere_ ableitung_ eq}
f_ { x_ { j_ 1} \dotsc x_ { j_ k} } (x) = f^ { (k)} (x)(e_ { j_ k} ,\dotsc ,e_ { j_ 1} )
\end { align}
\item \proplbl { taylor_ partielle_ ableitung_ zusammenhang_ hoehere_ ableitung_ b}
Falls alle partiellen Ableitungen $ f _ { x _ { j _ 1 } \dots x _ { j _ k } } $ der Ordnung $ k $ für alle $ y \in B _ r ( x ) \subset D $ existieren und falls diese stetig sind \\
\ \ $ \Rightarrow $ $ f $ ist $ k $ -fach \gls { diffbar} , d.h. $ f ^ { ( k ) } ( x ) $ existiert.
\end { enumerate}
\end { theorem}
\begin { proof}
Jeweils mittels vollständiger Induktion nach $ K $ ausgeführt:\begin { enumerate} [label={ \alph * )} ,topsep=\dimexpr -\baselineskip /2\relax ]
2018-07-20 14:35:45 +02:00
\item basiert auf Vollst. Reduktion
\item basiert auf Kap. MWS Existenz part. Abl.
2018-07-18 10:19:03 +02:00
\end { enumerate}
\end { proof}
\begin { example} [nochmal \propref { taylor_ partielle_ ableitung_ beispiel_ 10} ]
$ f ^ { ( 2 ) } ( x ) = f'' ( x ) \in L ^ 2 ( \mathbb { R } ^ 2 , \mathbb { R } ^ 2 ) $ existiert $ \forall x = ( x _ 1 , x _ 2 ) \in \mathbb { R } ^ 2 $ nach \propref { taylor_ partielle_ ableitung_ zusammenhang_ hoehere_ ableitung} und kann als Vektor von der \person { Hesse} -Matrix dargestellt werden: \begin { align*}
f^ { (2)} (x) = \begin { pmatrix}
\textrm { Hess} f_ 1 \\ \textrm { Hess} f_ 2
\end { pmatrix} = \begin { pmatrix}
\begin { pmatrix}
2 x_ 2 & 2 x_ 1 \\ 2 x_ 1 & 0
\end { pmatrix} \\ \begin { pmatrix}
0 & 1 \\ 1 & 2
\end { pmatrix}
\end { pmatrix}
\end { align*}
Was ist nun $ f'' ( x ) ( y _ 1 , y _ 2 ) $ für (Vektoren) $ y _ 1 $ , $ y _ 2 \in \mathbb { R } ^ 2 $ ?
\begin { align*}
f''(x)(y_ 1, y_ 2) & = f''(x) \begin { pmatrix}
\binom { y_ { 11} } { y_ { 12} } , \binom { y_ { 21} } { y_ { 22} }
\end { pmatrix} = f^ { (2)} (x) (y_ { 11} e_ 1 + y_ { 12} e_ 2, y_ { 21} e_ 1 + y_ { 22} e_ 2) \\
& = y_ { 11} f''(x)(e_ 1,y_ 2) + y_ { 12} f''(x)(e_ 2,y_ 2)\marginnote { Linearität!} \\
& = y_ { 21} y_ { 11} f''(x)(e_ 1,e_ 1) + y_ { 12} y_ { 21} f''(x)(e_ 2,e_ 1) + y_ { 11} y_ { 22} f''(x)(e_ 1,e_ 2) + y_ { 12} y_ { 22} f''(x)(e_ 2, e_ 2) \\
& \overset { \eqref { taylor_ partielle_ ableitung_ zusammenhang_ hoehere_ ableitung_ eq} } { =} y_ { 11} y_ { 21} f''_ { x_ 1 x_ 1} (x) + y_ { 12} y_ { 21} f_ { x_ 1 x_ 2} (x) + y_ { 21} y_ { 22} f_ { x_ 2 x_ 1} (x) + y_ { 12} y_ { 22} f_ { x_ 2 x_ 2} (x) \; (\in \mathbb { R} ^ 2) \\
& = \begin { pmatrix}
\langle (\mathrm { Hess} f_ 1)(x) y_ 1, y_ 2\rangle \\
\langle (\mathrm { Hess} f_ 2)(x) y_ 1, y_ 2 \rangle
\end { pmatrix} \in \mathbb { R} ^ 2\quad \forall y_ 1, y_ 2\in \mathbb { R} ^ 2
\end { align*}
\end { example}
\begin { conclusion}
Für $ f = ( x _ 1 , \dotsc , f _ m ) :D \subset K ^ n \to K ^ m $ , $ D $ offen, es existieren alle $ f ^ { ( 2 ) } ( x ) $ für $ x \in D $ . Dann \begin { align}
f^ { (2)} (x) (y_ 1,y_ 2) = \begin { pmatrix}
\langle (\mathrm { Hess} f_ 1)(x) y_ 1, y_ 2\rangle \\
\vdots \\
\langle (\mathrm { Hess} f_ m)(x) y_ 1,y_ 2\rangle
\end { pmatrix} \in K^ m\; \forall y_ 1, y_ 2\in K^ n
\end { align}
\end { conclusion}
\begin { boldenvironment} [Frage:]
Kann man die Reihenfolge bei partiellen Ableitungen vertauschen? (vgl. \propref { taylor_ partielle_ ableitungen_ beispiel_ 9} )
\end { boldenvironment}
\begin { example}
Sei $ f: \mathbb { R } ^ 2 \to \mathbb { R } ^ 2 $ mit\begin { align*}
f(x,y) = \begin { cases}
\frac { x^ 3y - xy^ 3} { x^ 2+y^ 2} & (x,y)\neq (0,0)\\
0 & (x,y)=(0,0)
\end { cases}
\end { align*}
und folglich \begin { align*}
f_ x(x,y) & = \begin { cases}
\frac { y(x^ 4 + 4x^ 2 y^ 2 - y^ 4)} { (x^ 2 + y^ 2)^ 2} & \text { für } (x,y) \neq (0,0) \\
\lim \limits _ { t\to 0} \frac { f(t,0) - f(,0,)} { t} = 0 & \text { sonst}
\end { cases}
\end { align*}
\begin { tabularx} { \linewidth } { l@{ \ } l@{ \ } c@{ \ } r@{ \ } l@{ \ } X}
insbesondere & $ f _ x ( 0 ,y ) $ & =& $ - y $ & $ \forall y \in \mathbb { R } $ ,& also $ f _ { xy } ( 0 , 0 ) = - 1 $ \\
analog & $ f _ y ( x, 0 ) $ & =& $ x $ & $ \forall x \in \mathbb { R } $ ,& also $ f _ { yx } ( 0 , 0 ) = + 1 $
\end { tabularx}
\end { example}
\begin { proposition} [Satz von \person { Schwarz} ]
\proplbl { taylor_ partielle_ ableitung_ schwarz}
Für $ f:D \subset \mathbb { R } ^ n \to \mathbb { R } ^ m $ , $ D $ offen. Mögen die partiellen Ableitungen $ f _ { x _ i } $ , $ f _ { x _ j } $ , $ f _ { x _ i x _ j } $ auf $ D $ existieren. Falls $ f _ { x _ i x _ j } $ stetig in $ x \in D $
\stepcounter { equation}
\begin { flalign}
\proplbl { taylor_ partielle_ ableitung_ schwarz_ eq}
\Rightarrow \; \; & f_ { x_ j x_ i} (x)\text { existiert und } f_ { x_ i x_ j} (x) = f_ { x_ j x_ i} (x) & \marginnote { (13) fehlt}
\end { flalign}
\end { proposition}
\begin { conclusion}
\proplbl { taylor_ partielle_ ableitung_ schwarz_ folgerung}
Sei $ f:D \subset \mathbb { R } ^ n \to \mathbb { R } ^ m $ , $ D $ offen, $ f $ $ k $ -fach \gls { diffbar} (d.h. $ f \in C ^ k ( D, \mathbb { R } ^ m ) $ ) \\
\ $ \Rightarrow $ alle partiellen Ableitung bis Ordnung $ k $ existieren und die Reihenfolge kann vertauscht werden.
\end { conclusion}
\subsection { Anwendungen}
\begin { proposition} [notwendige Integrabilitätsbedingung]
\proplbl { taylor_ anwendung_ integrabilitaetsbedinung}
Sei $ f = ( f _ 1 , \dotsc , f _ n ) : D \subset \mathbb { R } ^ n \to \mathbb { R } ^ n $ , $ D $ Gebiet\marginnote { Gebiet: offen, zusammenhängend} , $ f $ stetig \gls { diffbar} .
Damit $ f $ eine Stammfunktion $ F:D \to \mathbb { R } $ besitzt, muss folgende \begriff { Integrabilitätsbedingung} erfüllt sein: \begin { align}
\proplbl { taylor_ anwendung_ integrabilitaetsbedinung_ eq}
\frac { \partial } { \partial x_ i} f_ j(x) = \frac { \partial } { \partial x_ j} f_ i(x)\quad \forall x\in D,\; i,j=1,\dotsc ,n
\end { align}
\end { proposition}
\begin { proof}
$ f $ habe Stammfunktion $ F $ $ \Rightarrow $ $ F \in C ^ 2 ( D ) $
\begin { tabularx} { \linewidth } { r@{ \ \ } l@{ \ } c@{ \ } l@{ \ } l}
$ \Rightarrow $ & $ F _ { x _ j } ( x ) $ & = & $ f _ j ( x ) $ & $ \forall x \in D,j,i $ \\
$ \Rightarrow $ & $ F _ { x _ j x _ i } ( x ) $ & = & $ \frac { \partial } { \partial x _ i } f _ j ( x ) $ & $ \forall x \in D,i,j $ \\
$ \xRightarrow { \text { Schwarz } } $ & $ F _ { x _ j x _ i } ( x ) $ & =& \multicolumn { 2} { l} { $ F _ { x _ i x _ j } ( x ) = \frac { \partial } { \partial x _ j } f _ i ( x ) $ }
\end { tabularx}
\end { proof}
\begin { example}
2018-07-20 14:35:45 +02:00
Vgl. Bsp vom Kapitel Stammfkt.
$ \alpha \in \mathbb { R } $ :
\begin { align*}
2018-07-18 10:19:03 +02:00
f(x,y) & = \begin { pmatrix}
\alpha xy \\ x^ 2 + y^ 2
\end { pmatrix}
\end { align*}
Betrachte die Ableitungen \begin { align*}
\frac { \partial } { \partial y} f_ 1(x,y) & = \alpha x, & \frac { \partial } { \partial x} f_ 2(x,y) & = 2x
\end { align*}
$ \xRightarrow { \eqref { taylor _ anwendung _ integrabilitaetsbedinung _ eq } } $ $ \alpha = 2 $
\end { example}
\begin { proposition}
Sei $ f:D \subset \mathbb { R } ^ n \to \mathbb { R } $ , $ D $ offen und konvex, $ f $ stetig \gls { diffbar} . Dann:\begin { enumerate} [label={ \alph * )} ]
\item $ f $ konvex $ \Leftrightarrow $ $ \langle f' ( x ) , y - x \rangle \le f ( y ) f ( x ) $ $ \forall x,y \in D $
\item falls sogar $ f \in C ^ 2 ( D ) $ , dann: \begin { center}
%@TODO zu definit linken
$ f $ konvex $ \Leftrightarrow $ $ f'' ( x ) = ( \mathrm { Hess } f ) ( x ) $ positiv definit $ \forall x \in D $
\end { center}
\end { enumerate}
\end { proposition}
\begin { proof}
Vgl. Literatur
\end { proof}
\subsection { \person { Taylor} -scher Satz}
\begin { boldenvironment} [Ziel]
Bessere Approximation als durch Linearisierung
\end { boldenvironment}
Verwende \begriff { allgemeine Polynome} $ \phi :K ^ n \to K $ der Ordnung $ k $ , d.h. \begin { align}
\phi (x) = a_ 0 + \sum _ { i=1} ^ n a_ i x_ i + \sum _ { i,j=1} ^ n a_ { ij} x_ i x_ j + \dotsc + \sum _ { j_ 1,\dotsc ,j_ k} ^ n a_ { j_ 1\dots j_ k} x_ { j_ 1} \cdot \dots \cdot x_ { j_ k}
\end { align}
mit $ a _ 0 $ , $ a _ j $ , $ a _ { ij } $ $ \in K $ gegebene Koeffizienten
\begin { boldenvironment} [Wiederholung]
$ f \in C ( D ) $ : $ f ( x + y ) = f ( x ) + o ( 1 ) $ , $ y \to 0 $ \\
$ f \in C ^ 1 ( D ) $ : $ f ( x + y ) = f ( x ) + f ( x ) y + o ( \vert y \vert ) $ , $ y \to 0 $
\end { boldenvironment}
\begin { theorem} [\person { Taylor} -scher Satz]
\proplbl { taylor_ taylor}
Sei $ f:D \subset K ^ n \to K ^ m $ , $ D $ offen, $ k $ -fach \gls { diffbar} auf $ D $ , $ x \in D $ . Dann \begin { align}
\proplbl { taylor_ taylor_ eq}
f(x+y) = f(x) + \sum _ { j=1} ^ { k-1} \frac { 1} { j!} f^ { (j)} (x) y^ j + R_ k(y)\quad \text { falls $ [ x,x + y ] \subset D $ ,}
\end { align}
wobei\begin { align}
\proplbl { taylor_ taylor_ restglied_ eq_ eins}
\vert R_ k(y)\vert \le \frac { 1} { k!} \left \vert f^ { (k)} (x + \tau y) y^ k\right \vert \le \frac { 1} { k!} \left \Vert f^ { (k)} (x + \tau y)\right \Vert \vert y\vert ^ k
\end { align}
für ein $ \tau = \tau ( y ) \in ( 0 , 1 ) $
Für $ K = \mathbb { R } $ , $ m = 1 $ gilt auch \begin { align}
\proplbl { taylor_ taylor_ restglied_ eq_ zwei}
R_ k(y) & = \frac { 1} { k!} f^ { (k)} (x + \tau y) y^ k
\end { align}
(\person { Lagrange} Restglied)
Falls $ f \in C ^ k ( D, K ^ m ) $ gilt: \begin { align}
\proplbl { taylor_ taylor_ restglied_ eq_ drei}
R_ k(y) = \frac { 1} { k!} f^ { (k)} (x) y^ k + o(\vert y\vert ^ k),\, y\to 0
\end { align}
\end { theorem}
\begin { *definition} [Taylorpolynom, Taylorentwicklung]
Rechte Seite in \eqref { taylor_ taylor_ eq} ohne Restglied heißt \uline { Taylorpolynom} \begriff * [Taylor-!] { polynom} von $ f $ in $ x $ vom Grad $ k - 1 $ .
\eqref { taylor_ taylor_ eq} heißt \uline { Taylorentwicklung} \begriff * [Taylor-!] { entwicklung} von $ f $ in $ x $ .
\end { *definition}
\begin { conclusion} [\person { Taylor} -Formel mit partiellen Ableitungen]
Sei $ f:D \subset K ^ n \to K ^ m $ , $ d $ offen, $ f $ $ k $ -fach \gls { diffbar} auf $ D $ , $ x \in D $ , $ [ c,c + y ] \subset D $ : \begin { align}
\proplbl { taylor_ taylor_ partielle_ ableitungen_ eq}
f(x + y) = f(x) = \sum _ { l=1} ^ { k-1} \frac { 1} { l!} \sum _ { j=1} ^ n f_ { x_ { j_ l} \dots x_ { j_ 1} } (x) y_ { j_ 1} \dots y_ { j_ l} + R_ k(y),
\end { align}
wobei $ y = ( y _ 1 , \dotsc , y _ n ) \in K ^ n $ (d.h $ y _ j \in K $ Zahlen).
\end { conclusion}
\begin { proof}
Benutze \eqref { taylor_ partielle_ ableitung_ zusammenhang_ hoehere_ ableitung_ eq}
\end { proof}
\begin { example}
Sei $ f: \mathbb { R } ^ 2 \to \mathbb { R } $ mit $ f ( x ) = ( x _ 1 ^ 2 + x _ 1 x _ 2 + \sin x _ 2 ) $ ($ x = ( x _ 1 , x _ 2 ) $ )
Taylorentwicklung in $ x _ 0 = ( 1 , \pi ) $ , $ y = ( y _ 1 , y _ 2 ) \in \mathbb { R } ^ 2 $ .
\begin { align*}
f(x + y) = f(x_ 0) + f'(x_ 0) y + \frac { 1} { 2} f''(x_ 0) y^ 2 + \frac { 1} { 3} f'''(x_ 0) y^ 3 + o(\vert y\vert ^ 3)
\end { align*}
Offenbar sind \begin { align*}
f'(x) & = \begin { pmatrix}
2x_ 1 + x_ 2 \\ x_ 1 + \cos x_ 2
\end { pmatrix} & f''(x) & = (\mathrm { Hess} f)(x) = \begin { pmatrix}
2 & 1 \\ 1 & -\sin x_ 2
\end { pmatrix}
\end { align*}
und es ergibt sich \begin { align*}
f(x_ 0 + y) &
\! \begin { multlined} [t][0.7\linewidth ]
=f(x_ 0) + f_ { x_ 1} (x_ 0) y_ 1 + f_ { x_ 2} (x_ 0) y_ 2 \\
+ \frac { 1} { 2!} f_ { x_ 1 x_ 1} (x_ 0) y_ 1^ 2 + \frac { 2} { 2} f_ { x_ 1 x_ 2} (x_ 0) y_ 1 y_ 2 + \frac { 1} { 2} f_ { x_ 2 x_ 2} (x)y_ 2^ 2\marginnote { $ f _ { x _ 1 x _ 2 } + f _ { x _ 2 x _ 1 } = 2 f _ { x _ 1 x _ 2 } $ } \\
+ \frac { 1} { 3} f_ { x_ 2 x_ 2 x_ 2} (x_ 0) y_ 2^ 3 + o(\vert y \vert ^ 3)\end { multlined} \\
& = 1 + \pi + (2 + \pi ) y_ 1 + 0\cdot y_ 2 + y_ 1^ 2 + y_ 1 y_ 2 + 0\cdot y_ 2^ 2 + \frac { 1} { 6} y_ 2^ 3 + o(\vert y \vert ^ 3),\; y\to 0
\end { align*}
\end { example}
\begin { boldenvironment} [Frage]
Falls $ f \in C ^ \infty ( D ) $ existiert, dann \begin { align}
\proplbl { taylor_ taylor_ reihe_ eq}
f(x + y) = f(x) * \sum \frac { 1} { k!} f^ { (k)} (x) y^ k + \cancel { o(\vert y \vert ^ k)} \quad \text { für $ k = 1 , \dotsc ,n $ }
\end { align}
\end { boldenvironment}
\begin { *definition} [Taylorreihe]
Rechte Seite in \eqref { taylor_ taylor_ reihe_ eq} heißt \uline { Taylorreihe} \begriff * [Taylor-!] { reihe} von $ f $ in $ x $ .
\end { *definition}
\begin { example}
Sei $ f: \mathbb { C } \to \mathbb { C } $ mit $ f ( x ) = \sin x $ für $ x = 0 $ , dann \begin { align*}
f^ { (k)} (0) = \begin { cases}
0& \text { $ k $ gerade} \\
(-1)^ k & \text { für $ k = 2 l + 1 $ }
\end { cases}
\end { align*}
$ \Rightarrow $ \eqref { taylor_ taylor_ reihe_ eq} hat die folgende Form:\begin { align*}
\sin y = y - \frac { y^ 3} { 3!} + \frac { y^ 5} { 5!} + \dotsc = \sum (-1)^ l \frac { y^ { 2l+1} } { (2l+1)!} \text { für } l = 0,\dotsc ,\infty
\end { align*}
%@TODO: Label Referenz
Diese gilt $ \forall y \in \mathbb { C } $ (vgl. Definition Sinus in Kap. 13), analog Cosinus
\end { example}
\begin { example}
Sei $ f: \mathbb { R } \to \mathbb { R } $ mit \begin { align*}
f(x) = \begin { cases}
e^ { -\frac { 1} { x} } & x> 0 \\
0 & x\le 0
\end { cases}
\end { align*}
Nach \propref { tayler_ hoehere_ ableitungen_ beispiel_ 4} : $ f \in C ^ \infty ( \mathbb { R } ) $ , $ f ^ { ( k ) } ( 0 ) = 0 $ $ \forall k \in \mathbb { N } $ \\
\begin { tabularx} { \linewidth } { r@{ \ \ } X}
$ \xRightarrow { \eqref { taylor _ taylor _ reihe _ eq } } $ & $ f ( y ) = 0 ) $ $ \forall y $ $ \Rightarrow $ \Lightning \\
$ \Rightarrow $ & \eqref { taylor_ taylor_ reihe_ eq} gilt \emph { nicht} für alle $ f \in C ^ \infty ( D ) $
\end { tabularx}
\end { example}
\begin { boldenvironment} [Wiedeholung]
Eine Reihe ist konvergent, falls die Folge der Partialsummen konvergieren, und damit \eqref { taylor_ taylor_ reihe_ eq} gilt, muss die Reihe \emph { auch} gegen $ f ( x + y ) $ konvergieren!
\end { boldenvironment}
\begin { proposition} [Taylorreihe]
Sei $ f:D \subset K ^ n \to K ^ m $ , $ D $ offen, $ f \in C ^ \infty ( D, K ^ m ) $ , $ x \in D $ , $ B _ r ( x ) \subset D $ . Falls \begin { align*}
\lim \limits _ { k\to \infty } R_ k(y) = 0\quad \forall y\in B_ r(x)
\end { align*}
$ \Rightarrow $ Taylorformel \eqref { taylor_ taylor_ reihe_ eq} gilt $ \forall y \in B _ r ( x ) $ und $ f $ heißt \begriff { analytisch} in $ x $ .
\end { proposition}
\begin { proof}
Folgt direkt aus \propref { taylor_ taylor}
\end { proof}
\begin { example}
$ \sin $ , $ \cos $ , $ \exp : \mathbb { C } \to \mathbb { C } $ sind jeweils analytisch in allen $ x \in \mathbb { C } $ und \eqref { taylor_ taylor_ reihe_ eq} gilt jeweils $ \forall y \in \mathbb { C } $ (klar für $ x = 0 $ ) aus der Definition, für $ x \neq 0 $ erfolgt der Nachweis als ÜA / Selbststudium.
\end { example}
