\section{Inverse und implizite Funktionen}\setcounter{equation}{0}
\begin{underlinedenvironment}[Frage 1]
Sei $f:D\subset K^n\to K^m$\gls{diffbar}, $x\in D$. Wann existiert -- zumindest lokal -- \gls{diffbar} Umkehrfunktion?
\end{underlinedenvironment}
\begin{underlinedenvironment}[Vorbetrachtung]
$f$ ist dann (lokal) Diffeomorphismus und man hat in Umgebung von $x$\begin{itemize}
\item$f^{-1}$ existiert $\Rightarrow$$f$ injektiv
\item$f^{-1}$\gls{diffbar}, z.B. $y\in K^m$$\Rightarrow$$B_{\epsilon}(y)\subset f(K^m)$ für ein $\epsilon > 0$$\Rightarrow$ ($y$ innerer Punkt) $f$ surjektiv
\end{itemize}
Falls $f$ linear, d.h. $f(x)= Ax$ und $A\in L(K^n, K^m)$$\Rightarrow$$n=m$ und $A$ regulär.
Für allgemeine Funktion sollte dann gelten: $n=m$, $f'(x)$ regulär (sonst ungewiss)
\end{underlinedenvironment}
\begin{example}
Sei $f_j:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ mit $f_j(x)= x^j$ (in Umgebung von $_0$). $f_1$ und $f_3$ sind invertierbar, $f_2$ nicht.
wobei: $f_1'(0)=1$ ($\neq0$) regulär, $f_2'(0)=0= f'(0)$$\Rightarrow$ nicht regulär
\end{example}
\begin{example}
Se $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ und \begin{align*}
f(x) = \begin{cases}
x + x^2\cos\frac{\pi}{x}& x\neq 0 \\ 0 & x=0
\end{cases}
\end{align*}
$\Rightarrow$$f'(0)=1$, d.h. regulär
\emph{aber:}$f$ in keiner Umgebung von $x=0$ invertierbar (Selbststudium / ÜA) (Problem: $f'$ nicht stetig in $x=0$)
\end{example}
\begin{lemma}
\proplbl{implizit_funktion_lemma_3}
Sei $f:U\subset K^n\to V\subset K^m$, $U$, $V$ offen, $f$ Diffeomorphismus mit $f(U)= V$\\
$\Rightarrow$$n = m$
\end{lemma}
\begin{proof}
\NoEndMark
Sei $y = f(x)\in V$ für $x\in U$\\\begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }l@{$\,$}l@{\ }l@{\ }X}
\item$j=2$: kein eindeutiges $y$ (offenbar $f'(x,y)=0$)
\item$j=3$: eindeutige Lösung, aber Grenzfall mit $f_y(x_3, y_3)=0$
\item$j=4$: eindeutige Lösung $y$ und offenbar $f_y(x_4, y_4)\neq0$
\end{itemize}
\\
$\xRightarrow{\text{Vermutung}}$& lokale Lösung existiert, falls $f_y(x_0, y_0)$ regulär \\
$\xRightarrow{\text{allgemein}}$&
\vspace*{\dimexpr -\baselineskip*2/3}
\begin{enumerate}[label={\alph*)}]
\item beste lokale Lösungen, d.h. in Umgebung einer Lösung $(x_0, y_0)\in D$
\item lokal eindeutige Lösung $y$ erforderlich $\forall x$
\begin{description}
\item[$\Rightarrow$]$y\to f(x,y)$ muss invertierbar sein für festes $x$
\item[$\Rightarrow$] I.A. nur für $l=m$ möglich (vgl. \propref{implizit_funktion_lemma_3}).
Betrachte z.B. $f$ affin linear in $y$, d.h. \eqref{implizit_funktion_grundgleichung_eq} hat die Form $A(x)y = b(x)$ mit $A(x)\in L(K^l, K^m)$, $b(x)\in K^m$
\item[$\Rightarrow$] betrachte somit $f:D\subset K^n\times K^m\to K^m$
\item[$\Rightarrow$] für gegebenes $x$ hat \eqref{implizit_funktion_grundgleichung_eq}$m$ skalare Gleichungen mit $m$ skalaren Unbekannten
Funktion $\tilde{y}:\tilde{D}\subset K^n\to K^m$ heißt (lokale) \begriff{Lösung} von \eqref{implizit_funktion_grundgleichung_eq} in $x$ auf $\tilde{D}$ falls \begin{align}
Man sagt: \eqref{implizit_funktion_grundgleichung_eq} beschreibt Funktion $\tilde{y}$ implizit (d.h. nicht explizit)\\
häufig schreibt man $y(x)$ statt $\tilde{y}(x)$
\end{*definition}
Sei $f:D\subset K^n\times K^m\to K^m$, $D$ offen, $f_x(x,y)$ bzw. $f_y(x,y)$ ist Ableitung der Funktion $x\to f(x,y)$ (für $y$ feste) im Punkt $x$ bzw. von $y\to f(x,y)$ ($x$ fest) im Punkt $y$ heißt \emph{partielle Ableitung von $f$ in (x,y) bezüglich $x$}. bzw. $y$
\begin{theorem}[Satz über implizite Funktionen]
\proplbl{implizit_funktion}
Sei $f:D\subset\mathbb{R}^m \times K^m\to K^m$, $D$ offen, $f$ stetig \emph{und}\begin{enumerate}[label={\alph*)}]
\item$f(x_0, y_0)=0$ für ein $(x_0, y_0)\in D$
\item die Partielle Ableitung $f_y:D\to L(K^m, K^n)$ existiert, ist stetig in $(x_0, y_0)$ und $f_y(x_0, y_0)$ ist regulär
\end{enumerate}
Dann:\begin{enumerate}[label={\arabic*)}]
\item$\exists r,\rho > 0$: $\forall x\in B_r(x_0)\;\exists! y=\tilde{y}\in B_\rho(y_0)$ mit $f(x,\tilde{y}(x))=0$ und $\tilde{y}:B_r(x_0)\to B_\rho(y_0)$ stetig
Da $f$\gls{diffbar} und $\tilde{y}$ Lösung, gilt für $\vert t \vert$ klein nach \propref{definition_ableitung_proposition}\ref{satz_equivalenz_ableitungen_b}: {\zeroAmsmathAlignVSpaces**\begin{align*}
Falls alle $f_{x_j}^j$, $f_{y_l}^i$ stetig sind in $x$ und $y$\\
$\Rightarrow$$f$\gls{diffbar} mit \begin{align*}
f'(x,y) &= \big( f_x(x,y) \mid f_y(x,y) \big)
\end{align*}
\end{underlinedenvironment}
\begin{example}
Sei $f:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ mit $f(x,y)= x^2(1- x^2)- y^2$$\forall x,y\in\mathbb{R}$.
Offenbar ist \begin{align*}
f_x(x,y) &= 2x(1 - x^2) - 2x^3 = 2x - 4x^3 \\
f_y(x,y) &= -2y
\end{align*}
Suche Lösungen von $f(x,y)=0$\\
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{c@{\ }l@{$\;\,$}X}
$\bullet$&$y_0=0$:&$f_y(x_0, 0)=0$ nicht regulär $\Rightarrow$ Theorem nicht anwendbar \\
$\bullet$&$y_0\neq0$: &$f_y(x_0, y_0)\neq0$, also regulär.
Sei $f(x_0, y_0)$ = 0 $\xRightarrow{\text{\cref{implizit_funktion}}}$ anwendbar, z.B. $(x_0, y_0)=(\frac{1}{3}, \frac{2\cdot\sqrt{2}}{9})$ ist Nullstelle von $f$\\
$\bullet$&$y_0=0$, $x_0=1$: & hier ist $f_x(1,0)=-2$, also regulär \\
&&$\xRightarrow{\text{\cref{implizit_funktion}}}$$\exists$ lokale Lösung $\tilde{x}(y)$: $f(\tilde{x}(y), y)=0$$\forall y\in B_{\tilde{r}}(0)$ und $\tilde{x}'(0)=0$\\
$\bullet$&$y_0=0$, $x_0=0$: &$f_x(0,0)= f_y(0,0)=0$ nicht regulär\\
&&$\xRightarrow{\text{\cref{implizit_funktion}}}$ in keiner Variante Anwendbar.
Zurück zu Frage 1: Wann hat $f:D\subset K^n\to K^n$ eine \gls{diffbar} Umkehrfunktion?
Betrachte Gleichung $f(x)- y=0$. Falls diese Gleichung nach $x$ auflösbar, d.h. $\exists g:K^n\to K^n$ mit $f(g(y))= y$$\forall y$$\Rightarrow$$g=f^{-1}$
\begin{theorem}[Satz über inverse Funktionen]
\proplbl{inverse_funktion}
Sei $f:U\subset K^n\to K^n$, $U$ offen, $f$ stetig \gls{diffbar}, $f'(x)$ regulär für ein $x_0\in U$
\begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X}
$\Rightarrow$& Es existiert eine offene Umgebung $U_0\subset U$ von $x_0$, sodass $V_0:= f(U_0)$ offene Umgebung von $y_0 := f(x_0)$ ist, und die auf $U_0$ eingeschränkte Abbildung $f:U_0\to V_0$ ist Diffeomorphismus.
\end{tabularx}
\end{theorem}
\begin{proposition}[Ableitung der inversen Funktion]
\proplbl{inverse_funktion_ableitung}
Sei $f:D\subset K^n\to K^n$, $D$ offen, $f$ injektiv und \gls{diffbar}, $f^{-1}$\gls{diffbar} in $y\in\mathrm{int}\, f(D)$\begin{align}
$\xRightarrow{\text{\cref{inverse_funktion_folgerung}}}$&$\arctan: \mathbb{R}\to\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ ist Diffeomorphismus und \end{tabularx}\begin{align*}
(\arctan y)' = \frac{1}{(\tan x)'} = \cos^2 x = \frac{1}{\tan^2 x + 1} = \frac{1}{1 + y^2}\quad\forall y\in\mathbb{R}
\end{align*}
\end{example}
\begin{example}[Polarkoordinaten im $\mathbb{R}^2$]
{\zeroAmsmathAlignVSpaces*\begin{align*}
x &= r\cdot\cos\phi& y &= r\cdot\sin\phi
\end{align*}}
Sei $f:\mathbb{R}_{\ge0}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2$ mit \begin{align*}
f(r,\phi) &= \begin{pmatrix}
r\cdot\cos\phi\\ r\cdot\sin\phi
\end{pmatrix}
\end{align*}
Offenbar stetig \gls{diffbar} auf $\mathbb{R}_{>0}\times\mathbb{R}$ mit \begin{align*}
f'(r,\phi) = \begin{pmatrix}
\cos\phi& -r\sin\phi\\\sin\phi& r\cos\phi
\end{pmatrix}
\end{align*}
Wegen $\det f'(x)= r(\cos^2\phi+\sin^2\phi)= r$ ist $f'(r,\phi)$ regulär $\forall r,\phi\in(\mathbb{R}_{>0}\times\mathbb{R})$\\
\begin{tabularx}{\linewidth}{r@{\ \ }X}
$\xRightarrow{\text{\cref{inverse_funktion}}}$&$f$ ist lokal Diffeomorphismus, d.h. für jedes $(r_0, \phi_0)\in\mathbb{R}_{>0}\times\mathbb{R}$ existiert Umgebung $U_0$, sodass $f:U_0\to V_0 :=f(U_0)$ Diffeomorphismus ist.
\end{tabularx}
Für Ableitung $(f^{-1})'(x,y)$ mit $(x,y)=(r\cos\phi, r\sin\phi)$ gilt mit $r =\sqrt{x^2+ y^2}$:\begin{align*}
$f:\mathbb{R}_{>0}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}\setminus\{0\}$ ist \emph{kein} Diffeomorphismus, da $f$ nicht injektiv ($f$ periodisch in $\phi$),
\emph{aber:}$f:\mathbb{R}_{>0}\times(\phi_0, \phi_0+2\pi)\to\mathbb{R}^2\setminus\{\text{Strahl in Richtung $\phi_0$}\}$ ist Diffeomorphismus für beliebiges $\phi_0\in\mathbb{R}$ nach \propref{inverse_funktion_folgerung}\ref{inverse_funktion_folgerung_b}.
\end{underlinedenvironment}
\begin{underlinedenvironment}[folglich]
Voraussetzung $f$ injektiv in \propref{inverse_funktion_folgerung}\ref{inverse_funktion_folgerung_b} ist wesentlich.
