2018-07-18 10:19:03 +02:00
\section { Mittelwertsatz und Anwendung} \setcounter { equation} { 0}
\begin { *definition} [Maximum, Minimum]
Wir sagen, $ f:D \subset \mathbb { R } ^ n \to \mathbb { R } $ besitzt \begriff { Minimum} bzw. \begriff { Maximum} auf $ D $ , falls eine \begriff { Minimalstelle} bzw. \begriff { Maximalstelle} $ x _ 0 \in D $ existiert mit \begin { align}
\proplbl { mittelwertsatz_ extremalstellen}
f(x_ 0) & \le f(x) & f(x) & \ge f(x) & \forall x& \in D
\end { align}
$ f $ hat ein lokales Minimum bzw. lokales Maximum in $ x _ 0 \in D $ falls\begin { align}
\proplbl { mittelwertsatz_ lokale_ extremstellen}
\exists \epsilon > 0: f(x_ 0) & \le f(x) & f(x_ 0) & \ge f(x) & \forall x& \in B_ { \epsilon } (x_ 0 \cap D)
\end { align}
Hat man in \eqref { mittelwertsatz_ extremalstellen} bzw. \eqref { mittelwertsatz_ lokale_ extremstellen} für $ x $ und $ x _ 0 $ "`$ < $ "' bzw. "`$ > $ "', so sagt man \begriff [Maximum!] { strenges} \begriff * [Minimum!] { streng} (lokales) Minimum bzw. Maximum.
\end { *definition}
\begin { theorem} [notwendige Optimalitätsbedingung]
\proplbl { mittelwertsatz_ optimalitaetsbedingung}
Sei $ f:D \subset \mathbb { R } ^ n \to \mathbb { R } $ , $ D $ offen, $ f $ sei \gls { diffbar} in $ x \in D $ und habe lokales Minimum bzw. Maximum in $ x _ 0 $ . Dann: \begin { align}
\proplbl { mittelwertsatz_ optimalitaetsbedingung_ eq}
f'(x_ 0) & = 0 \quad (\in \mathbb { R} ^ { 1\times n} )
\end { align}
\end { theorem}
\begin { proof}
\NoEndMark
Für Minimum (Maximum analog) fixiere beliebiges $ z \in \mathbb { R } ^ n $ .
$ D $ offen\\
\begin { tabularx} { \linewidth } { rX}
\parbox { \widthof { \phantom { $ \xRightarrow { t \to 0 } $ } } } { \hfill $ \Rightarrow $ } & $ \exists \delta > 0 : x _ 0 + t \cdot z \in D $ $ \forall t \in ( - \delta , \delta ) $
\end { tabularx}
$ f $ \gls { diffbar} in $ x _ 0 $ , Minimum in $ x _ 0 $ \\
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(diff. $ f $ im Pkt. $ x _ 0 $ )
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\begin { tabularx} { \linewidth } { rX}
$ \Rightarrow $ & $ 0 \le f ( x _ 0 + t \cdot z ) - f ( x _ 0 ) = t \cdot f' ( z _ 0 ) \cdot z + o ( t ) $ , $ t \to 0 $ \marginnote { $ \left | \cdot \frac { 1 } { t } \right . $ } \\
$ \xRightarrow { t> 0 } $ & $ 0 \le f' ( x _ 0 ) \cdot z + o ( 1 ) $ \\
$ \xRightarrow { t \to 0 } $ & $ 0 \le f' ( x _ 0 ) \cdot z $ $ \forall z \in \mathbb { R } ^ n $ \\
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$ \xRightarrow { \pm z } $ & $ f' ( x _ 0 ) \cdot z = 0 $ $ \forall z \in \mathbb { R } ^ n $ \\
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$ \Rightarrow $ & $ f' ( x _ 0 ) = 0 $ \hfill \csname \InTheoType Symbol\endcsname
\end { tabularx}
\end { proof}
Einfache, aber wichtige Anwendung:
\begin { proposition} [Satz von Rolle]
\proplbl { mittelwertsatz_ rolle}
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Sei $ f: [ a,b ] \subset \mathbb { R } \to \mathbb { R } $ stetig, $ - \infty < a < b < \infty $ , $ f $ \gls { diffbar} auf $ ( a,b ) $ und $ f ( a ) = f ( b ) $ .\\
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$ \Rightarrow $ $ \exists \xi \in ( a,b ) : f ( \xi ) = 0 $
\end { proposition}
\begin { proof}
\NoEndMark
$ f $ stetig, $ [ a,b ] $ kompakt \\
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$ \xRightarrow { \text { Weierstrass } } $ $ \exists x _ 1 , x _ 2 \in [ a,b ] : f ( x _ 1 ) \le f ( x ) \le f ( x _ 2 ) $ $ \forall x $
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\begin { itemize}
\item Angenommen, $ f ( x _ 1 ) = f ( x _ 2 ) = f ( a ) $ $ \Rightarrow $ $ f $ konstante Funktion $ \Rightarrow $ $ f' ( \xi ) = 0 $ $ \forall \xi \in ( a,b ) $
\item Andernfalls sei $ f ( x _ 1 ) < f ( a ) $ $ \Rightarrow $ $ \xi : = x _ 1 \in ( a,b ) $ $ \xRightarrow { \text { \propref { mittelwertsatz _ optimalitaetsbedingung } } } $ $ f' ( \xi ) = 0 $
\item analog $ f ( x _ 2 ) > f ( a ) $ \hfill \csname \InTheoType Symbol\endcsname
\end { itemize}
\end { proof}
\begin { *definition} [abgeschlossenes, offenes Segment]
Setze für $ x,y \in K ^ n $
\begin { itemize}
\item $ [ x,y ] : = \{ x + t ( y - x ) \in \mathbb { R } ^ n \mid t \in [ 0 , 1 ] \} $ \begriff [Segment!] { abgeschlossenes} \begriff { Segment} (abgeschlossene Verbindungsstrecke)
\item $ ( x,y ) : = \{ x + t ( y - x ) \in \mathbb { R } ^ n \mid t \in ( 0 , 1 ) \} $ \begriff [Segment!] { offenes} \begriff { Segment} (offene Verbindungsstrecke)
\end { itemize}
\end { *definition}
\begin { theorem} [Mittelwertsatz]
\proplbl { mittelwertsatz_ mittelwertsatz}
Sei $ f:D \subset \mathbb { R } ^ n \to \mathbb { R } $ , $ D $ offen, $ f $ \gls { diffbar} auf $ D $ und seien $ x,y \in D $ mit $ [ x,y ] \subset D $ . Dann \begin { align}
\proplbl { mittelwertsatz_ mittelwertsatz_ eq}
2018-07-20 09:55:53 +02:00
\exists \xi \in (x,y): f(y) - f(x) = f'(\xi ) \cdot (y - x)
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\end { align}
\end { theorem}
\begin { remark} \vspace * { 0pt}
\begin { itemize}
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\item Für $ n = 1 $ schreibt man \eqref { mittelwertsatz_ mittelwertsatz_ eq} auch als
$ f' ( \xi ) = \frac { f ( y ) - f ( x ) } { y - x } \quad \text { falls } x \neq y. $
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\item Der \gls { mws} gilt \emph { nicht} für $ \mathbb { C } $ oder $ m \neq 1 $ .
\item \propref { mittelwertsatz_ mittelwertsatz} gilt bereits für $ D \subset \mathbb { R } ^ n $ beliebig, $ f $ stetig auf $ [ x,y ] \subset D $ , $ f $ \gls { diffbar} auf $ ( x,y ) \subset \inn D $ .
\end { itemize}
\end { remark}
\begin { proof}
2018-07-20 09:55:53 +02:00
Kontruiere eine Fkt. aus $ f $ , sd diese EGS von Satz von Rolle erfüllt, Ableitung von $ f $ berechnen mit Kettenregel einsetzen in Satz von Rolle und fertig.
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\NoEndMark
Setzte $ \phi ( t ) = f ( x + t ( y - x ) ) - \big ( f ( y ) - f ( x ) \big ) t $ $ \forall t \in [ 0 , 1 ] $ \\
\begin { tabularx} { \linewidth } { rX}
\parbox { \widthof { $ \xRightarrow { \text { \propref { mittelwertsatz _ rolle } } } $ } } { \hfill $ \xRightarrow { \text { $ f$ \gls { diffbar } } } $ } & $ \phi : [ 0 , 1 ] \to \mathbb { R } $ stetig, $ \phi ( 0 ) = \phi ( 1 ) = f ( x ) $
\end { tabularx}
$ \phi $ \gls { diffbar} auf $ ( 0 , 1 ) $ (verwende Kettenregel) mit \begin { align}
\proplbl { mittelwertsatz_ mittelwertsatz_ beweis_ eq}
\phi '(t) = f'(x + t(y - x)) \cdot (y - x) - \big ( f(y) - f(x) \big )
\end { align}
\begin { tabularx} { \linewidth } { rX@{ } }
2018-07-20 09:55:53 +02:00
$ \xRightarrow { \text { Satz von Rolle } } $ & $ f ( y ) - f ( x ) = f' ( \underbrace { x + \tau ( y - x ) } _ { = : \xi \in ( x,y ) } ) \cdot ( y - x ) $ \\
2018-07-18 10:19:03 +02:00
$ \Rightarrow $ & Behauptung\hfill \csname \InTheoType Symbol\endcsname
\end { tabularx}
\end { proof}
\begin { boldenvironment} [Frage]
Der \gls { mws} gilt für $ m = 1 $ . Was ist bei $ m > 1 $ ?
\end { boldenvironment}
\begin { conclusion}
Sei $ f = ( f _ 1 , \dotsc , f _ m ) : D \subset \mathbb { R } ^ n \to \mathbb { R } ^ m $ , $ D $ offen, \gls { diffbar} auf $ D $ , $ [ x,y ] \subset D $ . Dann
\begin { align}
\proplbl { mittelwertsatz_ mittelwertsatz_ m_ gt_ eins_ eq}
\exists \xi _ 1, \dotsc , \xi _ m \in (x,y): f(y) - f(x) = \left ( \begin { matrix}
f_ 1'(\xi _ 1) \\ \vdots \\ f_ m'(\xi _ m)
\end { matrix} \right ) \cdot (y - x)
\end { align}
\end { conclusion}
\begin { proof}
\propref { mittelwertsatz_ mittelwertsatz_ m_ gt_ eins_ eq} ist äquivlanet zu $ m $ skalaren Gleichungen \begin { align*}
f_ j(y) - f_ j(x) = f_ j'(\xi _ j) \cdot (y - x), \quad j = 1,\dotsc ,m
\end { align*}
und diese Folgen direkt aus \propref { mittelwertsatz_ mittelwertsatz} für $ f _ j: D \to \mathbb { R } $ .
\end { proof}
\begin { boldenvironment} [Frage]
2018-07-20 09:55:53 +02:00
Ist in MWS auch $ \xi _ 1 = \dotsc = \xi _ m $ möglich? Im Allgemeinen nein.
2018-07-18 10:19:03 +02:00
\end { boldenvironment}
\begin { example}
Sei $ f: \mathbb { R } \to \mathbb { R } ^ 2 $ mit $ f ( x ) = \binom { \cos x } { \sin x } $ $ \forall x \in \mathbb { R } $ .
Angenommen, $ \exists \xi \in ( 0 , 2 \pi ) : f ( 2 \pi ) - f ( 0 ) = f' ( \xi ) \cdot ( 2 \pi - 0 ) = 0 $ \\
\begin { tabularx} { \linewidth } { rX}
$ \Rightarrow $ & $ 0 = f' ( \xi ) = \binom { - \sin \xi } { \cos \xi } $ , d.h. $ \sin \xi = \cos \xi = 0 $ \\
$ \Rightarrow $ & \Lightning \\
2018-07-20 09:55:53 +02:00
$ \Rightarrow $ & $ \xi _ 1 = \xi _ 2 $ in MWS ist nicht möglich.
2018-07-18 10:19:03 +02:00
\end { tabularx}
\end { example}
\begin { theorem} [Schrankensatz]
\proplbl { mittelwertsatz_ schrankensatz}
Sei $ f:D \subset K ^ n \to K ^ m $ , $ D $ offen, $ f $ \gls { diffbar} auf $ D $ . Seien $ x,y \in D $ , $ [ x,y ] \subset D $ . Dann\begin { align}
\proplbl { mittelwertsatz_ schrankensatz_ eq}
\exists \xi \in (x,y): \vert f(y) - f(x) \vert \le \vert f'(\xi ) (y - x)\vert \le \Vert f'(\xi ) \Vert \cdot \vert y - x\vert
\end { align}
\emph { beachte:} \propref { mittelwertsatz_ schrankensatz} gilt auch für $ K = \mathbb { C } $ .
\end { theorem}
\begin { proof}
2018-07-20 09:55:53 +02:00
Setze Normalenvektor $ v $ besteht aus der Differenz der Fktwerte. Konstruiere $ \phi $ als Fkt des Realteils des Skalarprod. von Abl. von $ f $ und $ v $ . Leite $ \phi $ ab und nutze MWS und damit folgt die Beh. \\
Def.
2018-07-18 10:19:03 +02:00
\NoEndMark
Sei $ f ( x ) \neq f ( y ) $ (sonst klar). Setzte $ v: = \frac { f ( y ) - f ( x ) } { \vert f ( y ) - f ( x ) \vert } \in K ^ m $ , offenbar $ \vert v \vert = 1 $ .
Betrachte $ \phi : [ 0 , 1 ] \to \mathbb { R } $ mit $ \phi ( t ) : = \Re \langle f ( x + t ( y - x ) ) , v \rangle \marginnote { $ \langle u,v\rangle = \sum _ { i=1} ^ { n} \overline { u_ i} v_ i$ } $
Da $ f $ \gls { diffbar} , gilt \begin { align*}
\langle f(x + s(y - x)), v\rangle = \langle f(x + t(y - x)), v\rangle + \langle f'(x + t(y - x))\cdot (s - t)(y - x), v \rangle + \underbrace { o(\vert s - t\vert \cdot \vert y - x\vert )} _ { =o(\vert s - t\vert )} , \; s\to t
\end { align*} und damit ist auch $ \phi $ \gls { diffbar} auf $ ( 0 , 1 ) $ mit \begin { align*}
\phi '(t) & = \Re \langle f'(x + t(y - x))\cdot (y - x), v \rangle \quad \forall t\in (0,1)
\end { align*}
2018-07-20 09:55:53 +02:00
MWS liefert: $ \exists \tau \in ( 0 , 1 ) : \underbrace { \phi ( 1 ) - \phi ( 0 ) } _ { = \Re \langle f ( y ) - f ( x ) , v \rangle } = \phi ( \tau ) \cdot ( 1 - 0 ) $ \\
2018-07-18 10:19:03 +02:00
\begin { alignat*} { 8}
& \xRightarrow { \xi = x + \tau (y - x)} \; \; & \vert f(y) - f(x) \vert & & \, =\, & \Re \langle f(y) - f(x), v \rangle & & & \, =\, & \phi (1) - \phi (0) & & & \, =\, & \Re \langle f'(\xi ) \cdot (y - x), v\rangle & \\
& & & & \le & \vert \langle f'(\xi ) \cdot (y - x), v \rangle \vert & & & \overset { \star } { \le } & \marginnote { $ \star $ : \person { Cauchy} -\person { Schwarz} } \vert f'(\xi ) \cdot (y - x)\vert \cdot \underbrace { \vert v \vert } _ { =1} & \\
& & & & \le & \Vert f'(\xi ) \Vert \cdot \vert y - x\vert &
\end { alignat*} \hfill \csname \InTheoType Symbol\endcsname
\end { proof}
\begin { boldenvironment} [bekanntlich]
$ f ( x ) = \mathrm { const } $ $ \forall x $ $ \Rightarrow $ $ f' ( x ) = 0 $
\end { boldenvironment}
\begin { proposition}
\proplbl { mittelwertsatz_ ableitung_ null_ konstante_ funktion}
Sei $ f:D \subset K ^ n \to K ^ m $ , $ D $ offen, und zusammenhängend.
\begin { tabularx} { \linewidth } { XcX}
\hfill $ f $ \gls { diffbar} auf $ D $ mit $ f' ( x ) = 0 $ $ \forall x \in D $ & $ \Rightarrow $ & $ f ( x ) = \mathrm { const } $ $ \forall x \in D $ .
\end { tabularx}
\end { proposition}
\begin { proof}
\NoEndMark \hspace * { 0pt}
\begin { enumerate} [label={ \arabic * .} ,topsep=-\baselineskip ]
\item
\begin { itemize}
2018-07-20 09:55:53 +02:00
\item $ D $ offen, zusammenhängend, $ K ^ n $ normierter Raum $ \xRightarrow { \text { Satz 15 . 8 } } $ $ D $ bogenzusammenhängend
2018-07-18 10:19:03 +02:00
\item Wähle nun $ x,y \in D $ $ \Rightarrow $ $ \exists \phi : [ 0 , 1 ] \to D $ stetig, $ \phi ( 0 ) = x $ , $ \phi ( 1 ) = y $
\item $ D $ offen $ \Rightarrow $ $ \forall t \in [ 0 , 1 ] $ existiert $ r ( t ) > 0 : B _ { r ( t ) } ( \phi ( t ) ) \subset D $
\item Nach \propref { satz_ 15_ 1} ist $ \phi ( [ 0 , 1 ] ) $ kompakt und $ \{ B _ { r ( t ) } ( \phi ( t ) ) \mid t \in [ 0 , 1 ] \} $ ist offene Überdeckung von $ \phi ( [ 0 , 1 ] ) $ \\
$ \Rightarrow $ existiert endliche Überdeckung, d.h. $ \exists t _ 1 , \dotsc , t _ n \in [ 0 , 1 ] $ mit $ \phi ( [ 0 , 1 ] ) \subset \bigcup \limits _ { i = 1 , \dotsc , n } B _ { r ( t _ i ) } ( \phi ( t _ i ) ) $ .
\end { itemize}
\item Falls wir noch zeigen, dass $ f $ konstant ist auf jeder Kugel $ B _ r ( z ) \subset D $ ist, dann wäre $ f ( x ) = f ( y ) $ \\
$ \xRightarrow { x,y \text { bel. } } $ Behauptung.
\item
Sei $ B _ r ( z ) \subset D $ , $ x,y \in B _ r ( z ) $
\begin { tabularx} { \linewidth } { rX}
2018-07-20 09:55:53 +02:00
$ \xRightarrow { \text { \text { Schrankensatz } } } $ & $ \vert f ( y ) - f ( x ) \vert \le \underbrace { \Vert f' ( \xi ) \Vert } _ { = 0 } \cdot \vert y - x \vert = 0 $ \\
2018-07-18 10:19:03 +02:00
$ \Rightarrow $ & $ f ( x ) = f ( y ) $ \\
$ \xRightarrow { x,y \text { bel. } } $ & $ f $ konst. auf $ B _ r ( z ) $ \hfill \csname \InTheoType Symbol\endcsname
\end { tabularx}
\end { enumerate}
\end { proof}
\begin { example}
Sei $ f:D = ( 0 , 1 ) \cup ( 2 , 3 ) \to \mathbb { R } $ \gls { diffbar} , sei $ f' ( x ) = 0 $ auf $ D $ \\
\begin { tabularx} { \linewidth } { rX}
$ \xRightarrow { \text { \propref { mittelwertsatz _ ableitung _ null _ konstante _ funktion } } } $ & $ f ( x ) = \mathrm { const } $ auf $ ( 0 , 1 ) $ und $ ( 2 , 3 ) $ , aber auf jedem Intervall kann die Konstante anders sein.
\end { tabularx}
\end { example}
\rule { 0.4\linewidth } { 0.1pt}
\begin { theorem}
\proplbl { mittelwertsatz_ existenz_ partieller_ ableitung}
Sei $ f:D \subset K ^ n \to K ^ m $ , $ D $ offen, $ x \in D $ .
Falls partielle Ableitung $ f _ { x _ j } ( y ) $ , $ j = 1 , \dotsc ,n $ für alle $ y \in B _ r ( x ) \subset D $ für ein $ r > 0 $ existierten und falls $ y \to f _ { x _ j } ( y ) $ stetig in $ x $ für $ j = 1 , \dotsc ,n $ \\
$ \Rightarrow $ $ f $ ist differentierbar in $ x $ mit $ f' ( x ) = \big ( f _ { x _ 1 } ( x ) , \dotsc , f _ { x _ n } ( x ) \big ) \in K ^ { m \times n } $
\end { theorem}
\begin { proof}
\NoEndMark
Fixiere $ y = ( y _ 1 , \dotsc , y _ n ) \in B _ r ( 0 ) $ .
Betrachte die Eckpunkt eines Quaders in $ D $ : $ a _ 0 = x, a _ k : = a _ { k - 1 } + y _ k e _ k $ für $ k = 1 , \dotsc ,n $ \\
$ \Rightarrow $ $ a _ n = x + y $ .
Offenbar $ \phi _ k ( t ) = f ( a _ { k - 1 } + t e _ k y _ k ) - f ( a _ { k - 1 } ) - tf _ { x _ k } ( a _ { k - 1 } ) y _ k $ stetig auf $ [ 0 , 1 ] $ , \gls { diffbar} auf $ ( 0 , 1 ) $ mit \begin { align*} \phi _ k'(t) = f_ { x_ k} (a_ { k - 1} + t e_ k y_ k) y_ k - f_ { x_ k} (a_ { k-1} ) y_ k
\end { align*}
$ \xRightarrow { \text { \propref { mittelwertsatz _ schrankensatz } } } $ $ \vert \phi _ k ( 1 ) - \phi _ k ( 0 ) \vert = \vert f ( a _ k ) - f ( a _ { k - 1 } ) - f _ { x _ k } ( a _ { k + 1 } ) y _ k \vert \le \sup \limits _ { t \in ( 0 , 1 ) } \vert \phi _ k' ( \xi ) \vert $ , $ k = 1 , \dotsc ,n $
Es gilt mit $ A : = \big ( f _ 1 ( x ) , \dotsc , x _ { x _ n } ( x ) \big ) $ :
\begin { tabularx} { \linewidth } { r@{ $ \; $ } c@{ $ \; $ } c@{ } l}
\hfill $ \vert f ( x + y ) - f ( x ) - Ay \vert $ & $ = $ & & $ \displaystyle \left \vert \sum _ { k = 1 } ^ { n } f ( a _ k ) - f ( a _ { k - 1 } ) - f _ { x _ k } ( x ) y _ k \right \vert $ \\
& $ \overset { \triangle \text { - Ungl } } { \le } $ & & $ \displaystyle \sum _ { k = 1 } ^ n \big \vert f ( a _ k ) - f ( a _ { k - 1 } ) - f _ { x _ k } ( x ) y _ k \big \vert $ \\
& $ \underset { \text { Def. $ \phi _ k$ } } { \overset { \triangle \text { - Ungl } } { \le } } $ & & $ \displaystyle \sum \vert \phi _ k ( 1 ) - \phi _ k ( 0 ) \vert + \vert f _ { x _ k } ( a _ { k - 1 } ) y _ k - f _ { x _ k } ( x ) y _ k \vert $ \\
& $ \le $ & $ \vert y \vert $ & $ \displaystyle \sum \sup \limits _ { t \in ( 0 , 1 ) } \vert f _ { x _ k } ( a _ { k - 1 } + t \cdot e _ k y _ k ) - f _ { x _ k } ( a _ { k - 1 } ) \vert + \vert f _ { x _ k } ( a _ { k - 1 } ) - f _ { x _ k } ( x ) \vert $ \\
& $ \overset { \triangle \text { - Ungl } } { \le } $ & $ \vert y \vert $ & $ \displaystyle \underbrace { \sum _ { k = 1 } ^ n \sup \vert f _ { x _ k } ( a _ { k - 1 } + t e _ k y _ k ) - f _ { x _ k } ( x ) \vert + 2 \vert f _ { x _ k } \ ( a _ { k - 1 } ) - f _ { x _ k } ( x ) \vert } _ { = : \rho ( y ) \xrightarrow { y \to 0 } 0 \text { , da part. Ableitung $ f_ { x_ k} $ stetig in $ x$ } } $
\end { tabularx}
\begin { tabularx} { \linewidth } { rX@{ } }
$ \Rightarrow $ & $ f ( x + y ) = f ( y ) + Ay + R ( y ) $ mit $ \frac { \vert R ( y ) \vert } { y } \le \rho ( y ) \xrightarrow { y \to 0 } 0 $ (d.h. $ R ( y ) = o ( \vert y ) $ ) \\
$ \xLeftrightarrow { \propref { definition _ ableitung _ proposition } } $ & $ f $ ist \gls { diffbar} in $ x $ mit $ f' ( x ) = A $ \hfill \csname \InTheoType Symbol\endcsname
\end { tabularx}
\end { proof}
\subsection { Anwendung des Mittelwertsatzes in \texorpdfstring { $ \mathbb { R } $ } { R} }
\begin { proposition} [Monotonie]
\proplbl { mittelwertsatz_ anwendung_ monotonie}
Sei $ f: ( a,b ) \subset \mathbb { R } \to \mathbb { R } $ \gls { diffbar} , dann gilt:
\begin { enumerate} [label={ \roman * )} ]
\item \proplbl { mittelwertsatz_ anwendung_ monotonie_ aussage_ eins} $ f' ( x ) \ge 0 $ ($ \le 0 $ ) $ \forall x \in ( a,b ) $ $ \Leftrightarrow $ $ f $ monoton wachsend (monoton fallend)
\item \proplbl { mittelwertsatz_ anwendung_ monotonie_ aussage_ zwei} $ f' ( x ) > 0 $ ($ < 0 $ ) $ \forall x \in ( a,b ) $ $ \Rightarrow $ $ f $ streng monoton wachsend (fallend)
\item \proplbl { mittelwertsatz_ anwendung_ monotonie_ aussage_ drei} $ f' ( x ) = 0 $ $ \forall x \in ( a,b ) $ $ \Leftrightarrow $ $ f $ konst.
\end { enumerate}
\end { proposition}
\begin { remark}
In \ref { mittelwertsatz_ anwendung_ monotonie_ aussage_ zwei} gilt die Rückrichtung nicht! (Betr. $ f ( x ) = x ^ 3 $ und $ f' ( 0 ) = 0 $ )
\end { remark}
\begin { proof} [jeweils für wachsend, fallend analog]
Sei $ x,y \in ( a,b ) $ mit $ x < y $ .
\begin { itemize} [topsep=\dimexpr -\baselineskip / 2 \relax ]
\item ["`$\Rightarrow$"'] in \ref { mittelwertsatz_ anwendung_ monotonie_ aussage_ eins} , \ref { mittelwertsatz_ anwendung_ monotonie_ aussage_ zwei} , \ref { mittelwertsatz_ anwendung_ monotonie_ aussage_ drei}
Nach \propref { mittelwertsatz_ mittelwertsatz} $ \exists \xi \in ( a,b ) : f ( y ) - ( x ) = f' ( \xi ) ( y - x ) \stackrel { > } { = } 0 $ $ \xRightarrow { \text { $ x,y$ bel. } } $ Behauptung
\item ["`$\Leftarrow$"'] in \ref { mittelwertsatz_ anwendung_ monotonie_ aussage_ eins} , \ref { mittelwertsatz_ anwendung_ monotonie_ aussage_ drei}
$ 0 \stackrel { \le } { = } \frac { f ( y ) - f ( x ) } { y - x } \xrightarrow { y \to x } f' ( x ) $ $ \Rightarrow $ Behauptung
\end { itemize}
\end { proof}
\begin { proposition} [Zwischenwertsatz für Ableitungen]
Sei $ f: ( a,b ) \subset \mathbb { R } \to \mathbb { R } $ \gls { diffbar} , $ a < x _ 1 < x _ 2 < b $ . Dann
\begin { center}
\begin { tabular} { r@{ $ \; \; $ } c@{ \ \ } l}
$ f' ( x _ 1 ) < \gamma < f' ( x _ 2 ) $ & $ \Rightarrow $ & $ \exists \tilde { x } \in ( x _ 1 ,x _ 2 ) : f' ( \tilde { x } ) = \gamma $
\end { tabular}
\end { center}
(analog $ f ( x _ 2 ) < \gamma < f ( x _ 1 ) $ )
\end { proposition}
\begin { proof}
Sei $ g: ( a,b ) \to \mathbb { R } $ mit $ g ( x ) = f ( x ) - \gamma x $ ist \gls { diffbar} auf $ ( a,b ) $
\begin { tabularx} { \linewidth } { r@{ \ \ } X@{ } }
$ \xRightarrow { \text { Weierstraß } } $ & $ \exists \tilde { x } \in [ x _ 1 ,x _ 2 ] $ mit $ g ( \tilde { x } ) \le g ( x ) $ $ \forall x \in [ x _ 1 ,x _ 2 ] $ \\
\multicolumn { 2} { l} { Angenommen, $ \tilde { x } = x _ 1 $ } \\
$ \Rightarrow $ & $ 0 \le \frac { g ( x ) - g ( x _ 1 ) } { x - x _ 1 } \xrightarrow { x \to x _ 1 } g' ( x _ 1 ) = f' ( x _ 1 ) - \gamma < 0 $ \\
$ \Rightarrow $ & \Lightning (für Minimum: $ f' ( x ) \ge 0 $ ) \\
$ \Rightarrow $ & $ x _ 1 < \tilde { x } $ , analog $ \tilde { x } < x _ 2 $
\end { tabularx}
$ \xRightarrow { \text { \propref { mittelwertsatz _ optimalitaetsbedingung } } } $ $ 0 = g' ( \tilde { x } ) = f' ( \tilde { x } ) - \gamma $ $ \Rightarrow $ Behauptung
\end { proof}
\rule { 0.4\linewidth } { 0.1pt}
Betrachte nun "`unbestimme Grenzwerte"' $ \lim \limits _ { y \to x } \frac { f ( x ) } { g ( x ) } $ der Form $ \frac { 0 } { 0 } , \frac { \infty } { \infty } $ , wie z.B. $ \lim \limits _ { x \to 0 } \frac { x ^ 2 } { x } = \lim \limits _ { x \to 0 } x $ , $ \lim \limits _ { x \to 0 } \frac { \sin x } { x } $ .
\begin { proposition} [Regeln von \person { de l'Hospital} ]
\proplbl { mittelwertsatz_ krankenhaus}
Seien $ f,g: ( a,b ) \subset \mathbb { R } \to \mathbb { R } $ \gls { diffbar} , $ g' ( x ) \neq 0 $ $ \forall x \in ( a,b ) $ und entwender
\begin { enumerate} [label={ \roman * )} ]
\item $ \lim \limits _ { x \downarrow a } f ( x ) = 0 $ , $ \lim \limits _ { x \downarrow 0 } g ( x ) = 0 $ , oder
\item $ \lim \limits _ { x \downarrow a } f ( x ) = \infty $ , $ \lim \limits _ { x \downarrow a } g ( x ) = \infty $
\end { enumerate}
Dann gilt:
\begin { align}
\text { Falls $ \lim \limits _ { y \downarrow a } \frac { f' ( y ) } { g' ( y ) } \in \mathbb { R } \cup \{ \pm \infty \} $ ex.} \; \; \Rightarrow \; \; \lim \limits _ { y\downarrow a} \frac { f(y)} { g(y)} \in \mathbb { R} \cup \{ \pm \infty \} \text { ex. und } \lim \limits _ { y\downarrow a} \frac { f(y)} { g(y)} = \lim \limits _ { y\to a} \frac { f'(y)} { g'(y)}
\end { align}
(Analoge Aussagen für $ x \uparrow b $ , $ x \to + \infty $ , $ x \to - \infty $ )
\end { proposition}
\begin { remark}
\vspace * { 0pt}
\begin { enumerate} [label={ \arabic * )} ,topsep=\dimexpr -\baselineskip /2\relax ]
2018-07-20 09:55:53 +02:00
\item Analogie zu S. 9.34 Satz von Stolz
\item Grenzwerte Form $ 0 \cdot \infty $ , $ 1 ^ { \infty } $ , $ 0 ^ 0 $ , $ \infty ^ 0 $ , $ \infty - \infty $ angewendet werden, mit folg. Identitäten: \begin { align*}
2018-07-18 10:19:03 +02:00
\alpha \cdot \beta & = \frac { \alpha } { \frac { 1} { \beta } } & \alpha ^ \beta & = e^ { \beta \cdot \ln \alpha } & \alpha - \beta & = \alpha \left ( 1 - \frac { \beta } { \alpha } \right )
\end { align*}
\end { enumerate}
\end { remark}
\begin { proof} \hspace * { 0pt}
\NoEndMark
\begin { enumerate} [topsep=\dimexpr -\baselineskip /2\relax ,label={ zu \roman * )} ,leftmargin=\widthof { \texttt { zu ii)} } ]
2018-07-20 09:55:53 +02:00
\item Mit $ f ( a ) : = 0 $ , $ g ( a ) : = 0 $ sind $ f,g $ stetig auf $ [ a,b ) $ \\
2018-07-18 10:19:03 +02:00
$ \xRightarrow { \text { \propref { mittelwertsatz _ mittelwertsatz _ verallgemeinert } } } $ $ \forall x \in ( a,b ) \; \exists \xi = \xi ( x ) \in ( a,x ) : \frac { f ( x ) } { g ( x ) } = \frac { f' ( \xi ) } { g' ( \xi ) } $ . Wegen $ \xi ( x ) \to a $ für $ x \to a $ folgt die Behauptung
\item Sei $ \lim \limits _ { x \downarrow a } \frac { f' ( x ) } { g' ( x ) } = : \gamma \in \mathbb { R } $ ($ \gamma = \pm \infty $ ähnlich)
Sei \gls { obda} $ f ( x ) \neq 0 $ , $ g ( x ) \neq 0 $ auf $ ( a,b ) $ . Sei $ \epsilon > 0 $ fest \\
$ \Rightarrow $ $ \exists \delta > 0 : \left \vert \frac { f' ( \xi ) } { g' ( \xi ) } - \gamma \right \vert < \epsilon $ $ \forall \xi \in ( a,a + \delta ) $ und
\begin { align*}
\left \vert \frac { f(y) - f(x)} { g(y) - g(x)} - \gamma \right \vert \underset { \exists \xi \in (a,a+\delta )} { \overset { \propref { mittelwertsatz_ mittelwertsatz_ verallgemeinert} } { \le } } \underbrace { \left \vert \frac { f(y) - f(x)} { g(y) - g(x)} - \frac { f'(\xi )} { g'(\xi )} \right \vert } _ { =0} + \left \vert \frac { f'(\xi )} { g'(\xi )} - \gamma \right \vert < \epsilon \quad \forall x,y\in (a,a+\delta ),\; g(x)\neq g(y)
\end { align*}
Fixiere $ y \in ( a,a + \delta ) $ , dann $ f ( x ) \neq f ( y ) $ , $ g ( x ) \neq g ( y ) $ $ \forall x \in ( a,a + \delta _ 1 ) $ für ein $ 0 < \delta _ 1 < \delta $ und \begin { align*}
\frac { f(x)} { g(x)} = \frac { f(y) - f(x)} { g(y) - g(x)} \cdot \underbrace { \dfrac { 1 - \frac { g(y)} { g(x)} } { 1 - \frac { f(y)} { f(x)} } } _ { \xrightarrow { x\downarrow a} 1}
\end { align*}
\begin { tabularx} { \linewidth } { r@{ \ \ } X}
$ \Rightarrow $ & $ \exists \delta _ 2 > 0 : \delta _ 2 < \delta _ 1 $ und $ \left \vert \frac { f ( x ) } { g ( x ) } - \frac { f ( y ) - f ( x ) } { g ( y ) - g ( x ) } \right \vert < \epsilon \quad \forall x \in ( a, a + \delta _ 2 ) $ \\
$ \Rightarrow $ & $ \left \vert \frac { f ( x ) } { g ( x ) } - \gamma \right \vert \le \left \vert \frac { f ( x ) } { g ( x ) } - \frac { f ( y ) - f ( x ) } { g ( y ) - g ( x ) } \right \vert + \left \vert \frac { f ( y ) - f ( x ) } { g ( y ) - g ( x ) } - \gamma \right \vert < 2 \epsilon \quad \forall x \in ( a, a + \delta _ 2 ) $
\end { tabularx}
\end { enumerate}
$ \xRightarrow { \text { $ \epsilon > 0$ beliebig } } $ Behauptung
andere Fälle:\begin { itemize} [topsep=\dimexpr -\baselineskip / 2\relax ]
\item $ x \uparrow b $ analog
\item $ x \to + \infty $ mittels Transformation $ x = \frac { 1 } { y } $ auf $ y \downarrow 0 $ zurückführen
\item $ x \to - \infty $ analog\hfill \csname \InTheoType Symbol\endcsname
\end { itemize}
\end { proof}
\begin { example}
\proplbl { mittelwertsatz_ beispiel_ sinx_ x}
$ \lim \limits _ { x \to 0 } \frac { \sin x } { x } = 1 $ , denn $ \lim \limits _ { x \to 0 } \frac { ( \sin x ) ' } { x' } = \lim \limits _ { x \to 0 } \frac { \cos x } { 1 } = 1 $
\end { example}
\begin { example}
$ \lim \limits _ { x \to 0 } x \cdot \ln x = \lim \limits _ { x \to 0 } \dfrac { \ln x } { \frac { 1 } { x } } = 0 $ , denn $ \lim \limits _ { x \to 0 } \dfrac { ( \ln x ) ' } { \left ( \frac { 1 } { x } \right ) ' } = \lim \limits _ { x \to 0 } \dfrac { \frac { 1 } { x } } { - \frac { 1 } { x ^ 2 } } = 0 $
\end { example}
\begin { example}
$ \lim \limits _ { x \to 0 } \frac { 2 - 2 \cos x } { x ^ 2 } = 1 $ , denn es ist $ \lim \limits _ { x \to 0 } \frac { ( 2 - 2 \cos x ) ' } { ( x ^ 2 ) ' } = \lim \limits _ { x \to 0 } \frac { 2 \sin x } { 2 x } \overset { \propref { mittelwertsatz _ beispiel _ sinx _ x } } { = } 1 $ .
\emph { beachte:} \propref { mittelwertsatz_ krankenhaus} wird in Wahrheit zweimal angewendet.\\
\end { example}
\begin { example}
$ \lim \limits _ { x \to \infty } \left ( 1 + \frac { y } { x } \right ) ^ x = e ^ y $ $ \forall y \in \mathbb { R } $ mit \begin { align*}
\left ( 1 + \frac { y} { x} \right )^ x & = e^ { x\cdot \ln \left ( 1 + \frac { y} { x} \right )} = e^ { \frac { \ln \left ( 1 + \sfrac { y} { x} \right )} { \sfrac { 1} { x} } } , &
\lim \limits _ { x\to \infty } \dfrac { \left (\ln \left ( 1 + \frac { y} { x} \right ) \right )'} { \left (\frac { 1} { x} \right )'} & = \lim \limits _ { x\to \infty } \dfrac { yx^ 2} { \left (1 + \frac { y} { x} \right ) x^ 2} = \lim \limits _ { x\to \infty } \dfrac { y} { 1 + \frac { y} { x} } = y
\end { align*}
(vgl. Satz 13.9)
\end { example}
