Sind $B=(x_1,...,x_n)$ und $C=(y_1,...,y_m)$ Basen von $V$ bzw. $W$, so ist
\begin{align}
M_{B^*}^{C^*}(f^*)=\left(M_C^B(f) \right)^t\notag
\end{align}
\end{proposition}
\begin{proof}
Sei $A=M_C^B(f)=(a_{ij})_{i,j}$ und $B=M_{B^*}^{C^{*}}(f^*)=(b_{ji})_{j,i}$. Dann ist $f(x_j)=\sum_{i=1}^m a_{ij}y_i$, also $a_{ji}=y_i^*(f(x_j))=f^*(y_i^*)(x_j)$ und $f^*(y_i^*)=\sum_{j=1}^n b_{ji}x_j^*$, also $b_{ji}=f^*(y_i^*)(x_j)=a_{ij}$.
Seien $B$ und $C$ Basen von $V$ bzw. $W$. Unter der Identifizierung ist $B^{**}=B$ und $C=C^{**}$, das heißt $\iota(x_i)=x_i^{**}$ bzw. $\iota(y_j)=y_j^{**}$, denn $\iota(x_i)(x_j^*)=x_j^*(x_i)=\delta_{ij}= x_i^{**}(x_j^*)\quad\forall i,j$ und somit
\item$\Image(f^*)\subseteq\Ker(f)^0$: Ist $\phi\in W^*$, $x\in\Ker(f)$, so ist
\begin{align}
f^*(\phi)(x)=(\phi\circ f)(x)=\phi(0)=0\notag
\end{align}
\item$\Ker(f)^0\subseteq\Image(f^*)$: Sei $\phi\in\Ker(f)^0$. Setze eine Basis $(x_1,...,x_r)$ von $\Ker(f)$ zu einer Basis $(x_1,...,x_n)$ von $V$ fort. Dann sind $f(x_{r+1}),...,f(x_n)$ linear unabhängig nach der Kern-Bild-Formel (LAAG 1 III.7.13), es gibt also $\psi\in W^*$ mit
Ein homogenes lineares Gleichungssystem $Ax=0$ hat als Lösungsraum $L(A,0)\subseteq K^n$ ein Untervektorraum des $K^n$. Unter der Identifizierung $K^n=(K^n)^{**}$ ist $L(A,0)$ der Annulator der Linearformen beschrieben durch die Zeilen $a_1,...,a_m\in(K^n)^*$ von $A$. Wir wollen umgekehrt zu einem Untervektorraum $W\subseteq K^n$ ein $A=(a_1,...,a_m)\in\Mat_{n\times m}(K)$ mit $W=L(A,0)$ finden. Ist $W=\Span_K(b_1,...,b_r)$, so ist $W=\Image(f_B)$ mit $B=(b_1,...,b_r)\in\Mat_{n\times r}(K)$. \\
$\Rightarrow W\overset{\propref{7_3_7}}{=}\Ker(f^*_B)^0$ und $M_{\mathcal{E}^t}(f^*_B)=B^t$. Wenn man also eine Basis $(a_1,...,a_s)$ von $L(B^t,0)$ bestimmt und daraus eine Matrix $A=(a_1^t,...,a_s^t)\in\Mat_{s\times n}(K)$ bildet, so ist $W=L(A,0)$.
