Wenn Mathematica als Ergebnis eine Matrix ausgibt, so lässt sich diese als Zeile schlecht lesen. Mit dem Suffix \texttt{//MatrixForm} lässt sich der Output als Matrix formatieren:
\item Für $a_i,...,a_n \in K$ definiert man eine \begriff{Diagonalmatrix}$\diag(a_1,...,a_n)=(\delta_{ij}\cdot a_i)$.
\item Für eine Permutation $\sigma\in S_n$ definiert man die \begriff{Permutationsmatrix}$P_\sigma :=(\delta_{\sigma
(i),j})$.
\item Für $a_1,...,a_n$ definiert man einen \begriff{Zeilenvektor}$(a_1,...,a_n)\in\Mat_{1\times n}(K)$ bzw. einen
\begriff{Spaltenvektor}$(a_1,...,a_n)^t$.
\end{itemize}
\end{example}
\begin{definition}[Addition und Skalarmultiplikation]
Seien $A=(a_{ij})$ und $B=(b_{ij})$ desselben Typs und
$\lambda\in K$. Man definiert auf $\Mat_{m\times n}(K)$ eine koeffizientenweise \begriff[Matrix!]{Addition} und \begriff[Matrix!]{Skalarmultiplikation}.
\end{definition}
\begin{mathematica}[Matrizenoperationen]
Die komponentenweise Addition bzw. Skalarmultiplikation von Matrizen $A$ und $B$ lässt sich in Mathematica bzw. WolframAlpha folgendermaßen realisieren:
\begin{align}
\texttt{A+B}\notag\\
\texttt{A*B}\notag
\end{align}
\end{mathematica}
\begin{proposition}
\proplbl{3_1_4}
$(\Mat_{m\times n},+,\cdot)$ ist ein $K$-Vektorraum der Dimension $\dim_K(\Mat_{m\times n})=n\cdot m$ mit
Basismatrix als Basis.
\end{proposition}
\begin{proof}
Dies ist klar, weil wir $\Mat_{m\times n}$ mit dem Standardraum $K^{mn}$ identifizieren können. Wir haben die
Elemente nur als $m\times n$-Matrix statt als $mn$-Tupel geschrieben.
\end{proof}
\begin{definition}[Matrizenmultiplikation]
Seien $m,n,r \in\mathbb N_0$. Sind $A=(a_{ij})\in\Mat_{m\times n}(K)$,
$B=(b_{jk})\in\Mat_{n\times r}(K)$ so definieren wir die \begriff[Matrix!]{Matrizenmultiplikation}$C=AB$ als die Matrix $C=(c_{ik})\in\Mat_{m\times r}(K)$ mit
$c_{ik}=\sum_{j=1}^n a_{ij}\cdot b_{jk}$. Kurz geschrieben "'Zeile $\cdot$ Spalte"'.
\end{definition}
\begin{mathematica}[Matrizenmultiplikation]
Die Matrizenmultiplikation in Mathematica und WolframAlpha für Matrizen $A$ und $B$ geht so:
\begin{align}
\texttt{A.B}\text{ oder }\texttt{Dot[A,B]}\notag
\end{align}
\end{mathematica}
\begin{example}
\proplbl{3_1_6}
\begin{itemize}
\item Für $A\in\Mat_n(K)$ ist $0\cdot A=0$ und $1\cdot A=A$.
\item Für $\sigma\in S_n$ und $A\in\Mat_{n\times r}(K)$ geht $P_{\sigma}\cdot A$ aus $A$ durch Permutation der
Zeilen hervor.
\end{itemize}
\end{example}
\begin{lemma}
\proplbl{3_1_7}
Für $m,n,r \in\mathbb N_0$ und $A=(a_{ij})\in\Mat_{m\times n}(K)$, $B=(b_{jk})\in\Mat_
{n\times r}(K)$ und $\lambda\in K$ gilt:
\begin{align}
A(\lambda B)=(\lambda A)B=\lambda(AB)\notag
\end{align}
\end{lemma}
\begin{proof}
Schreibe $A=(a_{ij})$, $B=(b_{jk})$. Dann ist $A(\lambda B)=\sum_{j=1}^n a_{ij}\cdot\lambda b_{jk}=\sum
Mit der Matrizenmultiplikation wird $\Mat_n(K)$ zu einem Ring mit Einselement $1$.
\end{proposition}
\begin{proof}
Nach \propref{3_1_4}, \propref{3_1_8} und \propref{3_1_9} ist $\Mat_n(K)$ ein Ring und dass $\mathbbm{1}_n$ ein neutrales Element ist, haben wir schon in \propref{3_1_6} gesehen
\end{proof}
\begin{example}
\begin{itemize}
\item Für $n=1$ können wir dem Ring $\Mat_n(K)$ mit $K$ identifizieren, der Ring ist also ein Körper,
insbesondere ist er kommutativ.
\item Für $n\ge2$ ist $\Mat_n(K)$ nicht kommutativ.
\end{itemize}
\end{example}
\begin{definition}[invertierbar]
Eine Matrix $A\in\Mat_n(K)$ heißt \begriff[Matrix!]{invertierbar} oder \begriff[Matrix!]{regulär}, wenn sie im Ring
$\Mat_n(K)$ invertierbar ist, sonst \begriff[Matrix!]{singulär}. Die Gruppe $\GL_n(K)=\Mat_n(K)^{\times}$ der invertierbaren $n\times n$
-Matrizen heißt \begriff{allgemeine Gruppe}.
\end{definition}
\begin{mathematica}[Matizen invertieren]
Das Inverse einer Matrix $A$ in Mathematica bzw. WolframAlpha lässt sich mit der Funktion
