diff --git a/.gitignore b/.gitignore new file mode 100644 index 0000000..b6418e5 --- /dev/null +++ b/.gitignore @@ -0,0 +1,221 @@ +## Core latex/pdflatex auxiliary files: +*.aux +*.lof +*.log +*.lot +*.fls +*.out +*.toc +*.fmt +*.fot +*.cb +*.cb2 + +## Intermediate documents: +*.dvi +*.xdv +*-converted-to.* +# these rules might exclude image files for figures etc. +# *.ps +# *.eps +# *.pdf + +## Generated if empty string is given at "Please type another file name for output:" +.pdf + +## Bibliography auxiliary files (bibtex/biblatex/biber): +*.bbl +*.bcf +*.blg +*-blx.aux +*-blx.bib +*.run.xml + +## Build tool auxiliary files: +*.fdb_latexmk +*.synctex +*.synctex(busy) +*.synctex.gz +*.synctex.gz(busy) +*.pdfsync + +## Auxiliary and intermediate files from other packages: +# algorithms +*.alg +*.loa + +# achemso +acs-*.bib + +# amsthm +*.thm + +# beamer +*.nav +*.pre +*.snm +*.vrb + +# changes +*.soc + +# cprotect +*.cpt + +# elsarticle (documentclass of Elsevier journals) +*.spl + +# endnotes +*.ent + +# fixme +*.lox + +# feynmf/feynmp +*.mf +*.mp +*.t[1-9] +*.t[1-9][0-9] +*.tfm + +#(r)(e)ledmac/(r)(e)ledpar +*.end +*.?end +*.[1-9] +*.[1-9][0-9] +*.[1-9][0-9][0-9] +*.[1-9]R +*.[1-9][0-9]R +*.[1-9][0-9][0-9]R +*.eledsec[1-9] +*.eledsec[1-9]R +*.eledsec[1-9][0-9] +*.eledsec[1-9][0-9]R +*.eledsec[1-9][0-9][0-9] +*.eledsec[1-9][0-9][0-9]R + +# glossaries +*.acn +*.acr +*.glg +*.glo +*.gls +*.glsdefs + +# gnuplottex +*-gnuplottex-* + +# gregoriotex +*.gaux +*.gtex + +# hyperref +*.brf + +# knitr +*-concordance.tex +# TODO Comment the next line if you want to keep your tikz graphics files +*.tikz +*-tikzDictionary + +# listings +*.lol + +# makeidx +*.idx +*.ilg +*.ind +*.ist + +# minitoc +*.maf +*.mlf +*.mlt +*.mtc[0-9]* +*.slf[0-9]* +*.slt[0-9]* +*.stc[0-9]* + +# minted +_minted* +*.pyg + +# morewrites +*.mw + +# nomencl +*.nlo + +# pax +*.pax + +# pdfpcnotes +*.pdfpc + +# sagetex +*.sagetex.sage +*.sagetex.py +*.sagetex.scmd + +# scrwfile +*.wrt + +# sympy +*.sout +*.sympy +sympy-plots-for-*.tex/ + +# pdfcomment +*.upa +*.upb + +# pythontex +*.pytxcode +pythontex-files-*/ + +# thmtools +*.loe + +# TikZ & PGF +*.dpth +*.md5 +*.auxlock + +# todonotes +*.tdo + +# easy-todo +*.lod + +# xindy +*.xdy + +# xypic precompiled matrices +*.xyc + +# endfloat +*.ttt +*.fff + +# Latexian +TSWLatexianTemp* + +## Editors: +# WinEdt +*.bak +*.sav + +# Texpad +.texpadtmp + +# Kile +*.backup + +# KBibTeX +*~[0-9]* + +# auto folder when using emacs and auctex +/auto/* + +# expex forward references with \gathertags +*-tags.tex diff --git a/Lineare_Algebra.org b/Lineare_Algebra.org new file mode 100644 index 0000000..6e2702f --- /dev/null +++ b/Lineare_Algebra.org @@ -0,0 +1,950 @@ +#+TITLE: Lineare Algebra (f"ur Physiker) I +#+INCLUDE: "../../../latex_preamble.org" + +* Mengenlehre +In der modernen Mathematik fasst man Strukturen (R"aume, Fl"achen, +Zahlensysteme) als /Mengen/ und /Abbildungen/ auf. + +#+ATTR_LATEX: :options {Menge}{def-meng} +#+begin_definition +Eine Zusammenfassung von Objekten die *Elemente* der heissen. Eine Menge ist +also eindeutig dadurch bestimmt, welche Elemente sie enth"alt. +#+end_definition + +#+ATTR_LATEX: :options \ +#+begin_notation + - $M=\{m_1,m_2,m_3,...\}$ - Aufzeahlung + - $\{...\}$ - Mengenklammern + - $M=\{x| P(x)\}$ - Eigenschaft + - Alle $x$ mit der Eigenschaft $P(x)$ +#+end_notation + +#+ATTR_LATEX: :options \ +#+begin_exa + - $n=\{\text{Nat"urliche Zahlen}\} =(add-hook 'La(add-hook 'LaTeX-mode-hook 'LaTeX-math-mode)TeX-mode-hook 'LaTeX-math-mode) \{0,1,2,...\}$ + - $E=\{x|\text{x hat die Eigenschaft } P(x)\}$ +#+end_exa + +** Wichtige Mengen + - $\mathbb{N}=\{\text{nat"urliche Zahlen}\} = \{1,2,...\}$ + - $\mathbb{Z}=\{\text{ganze Zahlen}\} = \{...,-2,-1,0,1,2,...\}$ + - $Q=\{\text{Rationale + Zahlen}\}=\left\{\left.\displaystyle\frac{p}{q}\;\right\vert\begin{array}{c}p \in \mathbb{Z} \\ q \in N \setminus \{0\}\end{array}\right\}$ + - $\mathbb{R}=\{\text{reelle Zahlen}\}$ + +** Beziehungen zwischen Mengen +#+ATTR_LATEX: :options {Mengenbeziehungen}{def-teilmenge} +#+begin_definition +Seien $A,B$ zwei Mengen. + 1) $A$ heisst *Teilmenge* von B, wenn f"ur jedes Element $a\in A$ gilt: $a\in B$. + 2) Es sei die Menge $C = \{a|a\in A \text{ und } b\in B\}$, so heisst $C$ *Durchschnitt* von $A$ und $B$. + 3) Es sei die Menge $C = \{a|a\in A \text{ oder } b\in B\}$, so heisst $C$ *Vereinigung* von $A$ u(add-hook 'c++-mode-hook 'clang-format-bindings)nd $B$. +#+end_definition + +#+ATTR_LATEX: :options \ +#+begin_notation + - $\in$ ``Element von'': $x\in X$ - ''x ist Element von X'' + - $\subseteq$ Teilmenge: $A\subseteq B$ - ''A ist eine Teilmenge von B'' + - $\cap$ Durchschnitt: $A\cap B = \{a|a\in A \text{ und } b\in B\}$ + - $\cup$ Vereinigung $A\cup B = \{a|a\in A \text{ oder } b\in B\}$ + - $\varnothing$ - Leere Menge + - $A\setminus B$ - Mengendifferenz + - $A\times B$ - Direktes Produkt + - $(a,b)$ - geordentes Paar mit dem ersten Element $a$ und dem zweiten + Element $b$. +#+end_notation + +#+begin_exa +$N\subseteq \mathbb{Z}$, aber $Q \not\subset \mathbb{Z}$: $\frac{1}{2} \not\in \mathbb{Z}$ +#+end_exa + +#+begin_exa +F"ur $A = \{1,2,3,4,5\}$ und $B = \{2,3,10\}$: + - $A\cap B = \{2,3\}$ + - $A\cup B = \{1,2,3,5,10\}$ +#+end_exa + +#+ATTR_LATEX: :options {Leere Menge}{} +#+begin_definition +Die leere Menge $\varnothing$ ist die (eindeutig bestimmte) Menge, die kein Element enth"alt. +#+end_definition + +#+begin_exa +$\{\pi\} \cap Q = \varnothing$ +#+end_exa + +#+ATTR_LATEX: :options {Differenz}{} +#+begin_definition +Die Differenz zweier Mengen $A, B$ wird definiert als $A\setminus B = \{a\in A | a\not\in +B\}$ (Elemente aus $A$, die nicht in $B$ liegen). +#+end_definition + +#+ATTR_LATEX: :options {Direktes/Kartesisches Produkt}{} +#+begin_definition +Wenn $A,B$ zwei Mengen sind dann ist die Menge der Paare $(a,b)$ und $a\in A, +b\in B$ das direkte (kartesische) Produkt von $A$ und $B$ ($A\times B$). +#+end_definition + +Analog gilt: $A_1\times A_2\times ... \times A_n = \{(a_1,...,a_n)| a_1\in A_1,...,a_n\in A_n\}$ + +#+begin_exa +$\mathbb{R}^n=\mathbb{R}\times ... \times \mathbb{R} = \{(x_1,...,x_n)| x_1\in \mathbb{R},...,x_n\in \mathbb{R}\}$ +#+end_exa + +Geometrie $m$ der Ebene mit Koordinaten $=$ Untersuchung von Konstruktionen in +$\mathbb{R}^2=\mathbb{R}\cdot\mathbb{R}$. + +#+ATTR_LATEX: :options {Komplemen"armenge} +#+begin_definition +Seien $A,M$ Mengen und $A\subseteq B$ so ist $A^c = M\setminus A$ und heisst +*Komplement"armenge* zu $M$. +#+end_definition + +Seien $A,B,M$ Mengen und $A\subseteq M$ und $B\subseteq M$, so gilt: +#+begin_relation + 1) $(A\cup B)^c = A^c \cap B^c$ + 2) $(A\cap B)^c = A^c \cup B^c$ + 3) $(A^c)^c = A$ + 4) $A\cup A^c = M$ +#+end_relation + +#+begin_notte +Es gelten auch alle Identit"aten f"ur Mengen. +#+end_notte + + +** Abbildungen zwischen Mengen +#+ATTR_LATEX: :options {Abbildung}{} +#+begin_definition +Seien $X,Y$ Mengen. Eine Abbildung $f$ von $X$ nach $Y$ (Bez: $f:X\rightarrow +Y$) ist eine Vorschrift, die jedem Element $x\in X$ ein Element von +$y\in Y$ Zuordnet. +#+end_definition + + +#+begin_notation +Man schreibt: $x\mapsto f(x)$ - ''x wird auf $f(x)$ abgebildet'' = ''dem $x\in +X$ wird ein $f(x)\in Y$ zugeordnet.'' +#+end_notation + +#+ATTR_LATEX: :options \ +#+begin_exa + - $f(t)=t^2+1$ definiert eine Abbildung $f: \mathbb{R}\mapsto \mathbb{R}, t\mapsto f(t)=t^2+1$ + - $g(t)= \frac{t^2+1}{t-1}$ definiert eine Abbildung $g: \mathbb{R}\setminus\{ + 1\}\mapsto \mathbb{R}, t\mapsto \frac{t^2+1}{t-1}$ + - $h: S=\{\text{Teilnehmer der Vorlesung}\}\mapsto N, s\mapsto Geburtsjahr(s)$ +#+end_exa + +*** Spezielle Abbildungen +#+begin_relation + 1) F"ur jede Menge $X$ ist die *Indentit"atsabbildung* auf $X$ definiert durch $Id_x:X\mapsto X, x\mapsto x$. + 2) Gegeben seien Mengen $A,B$. Die Abbildung $\pi_A: A\times B \mapsto A, (a,b) + \mapsto a$ heisst *Projektionsabbildung* von $A\times B$ auf $A$. + 3) Seien $X,Y$ Mengen, sei $y_0 \in Y$. Dann heisst die Abbildung $f: X\mapsto + Y, x\mapsto y_0$ eine *konstante Abbildung* (mit dem wert $y_0$). +#+end_relation + +#+ATTR_LATEX: :options \ +#+begin_exa + - Identit"atsabbildung: $f(x)=x$ + - konstante Abbildung: $f(x)=1$ + - Projektionsabbildung: $f(x,y)=x$ +#+end_exa + +*** Bild und Urbild +#+ATTR_LATEX: :options {Bild und Urbild einer Funktion}{} +#+begin_definition +Sei $f: X\mapsto Y$ eine Abbildung. + - Sei $A\subseteq X$. Dann heisst $f(A):=\{f(a)|a\in A\}$ das Bild von A. + - Sei $B\subseteq Y$. Dann heisst $f^{-1}(B):=\{a\in A|f(a)\in B\}$ das Urbild von $B$. +#+end_definition + +#+begin_notte +Das Bild und das Urbild f"ur eine /Menge/ einer Funktion ist wieder eine /Menge/. +#+end_notte + + +#+begin_notte +$f^{-1}$ ist keine Abbildung, sonder nur ein formales Symbol! +#+end_notte + +*** Einige Eigenschaften von Funktionen +Seien $X,Y$ Mengen, $f: X\mapsto Y$ eine Abbildung. $f$ heist: +#+begin_relation + 1) *Injektiv*, wenn f"ur $x\in X\not = x' \in X$ gilt: $f(x) \not = f(x')$ + * Keine Verklebung von Punkten! + 2) *Surjektiv*, wenn f"ur $y\in Y$ ein $x\in X$ existiert mit $f(x)=y$. + * Keine Abbildung auf eine echte Teilmenge von $Y$! + 3) *Bijektiv*, wenn $f$ injektiv und surjektiv ist. +#+end_relation + +#+ATTR_LATEX: :options \ +#+begin_exa + 1. $f: \mathbb{R} \implies \mathbb{R}, t\mapsto t^2$ + - ist nicht injektiv: +$-1\mapsto 1$ + - ist nicht surjektiv: f"ur $-1\in \mathbb{R}$ gibt es kein $t\in\mathbb{R}$ + mit $t^2=-1$ + 2. $g: \mathbb{N}\mapsto\mathbb{Z}, n\mapsto-n$ + - ist injektiv: $m\ne n\implies g(m)=-m \ne -n = g(n)$ + - ist nicht surjektiv: f"ur $1\in \mathbb{Z}$ gibt es kein $n\in \mathbb{N}$ + mit $-n=1$ + 3. $h: \mathbb{R}\mapsto\mathbb{R},t\mapsto t^3$ ist Bijektiv ("Ubung) +#+end_exa + +*** Inverse Abbildung zu einer bijektiven Abbildung +#+ATTR_LATEX: :options {Inverse Abbildung}{} +#+begin_definition +Sei $f:X\mapsto Y$ bijektiv. Sei $y\in Y$. Definiere eine Abbildung $f^{-1}: +Y\mapsto X$ so: $f^{-1}(y)=x$ mit der Eigenschaft $f(x)=y$. +#+end_definition + +Dies ist wohldefiniert (diese Vorschrift definiert tats"achlich eine Abbildung) +weil: + +#+begin_relation + - Das x mit der gew"unschten Eigenschaft existiert f"ur jedes $y\in Y$, weil + $f$ surjectiv ist. + - F"ur jedes $y\in Y$ existiert h"ochstens ein $x\in X$ mit der gew"unschten + Eigenschaft, weil $f$ injektiv ist. +#+end_relation + +#+begin_notte +Wenn die Abbildung $f$ bijektiv ist, hat $f^{-1}(A)$ f"ur ein $A\subseteq Y$ a +priori zwei Bedeutungen: + - Urbild von $A$ unter f + - Bild von $A$ von $f^{-1}$ + +Wenn $f$ bijektiv ist, stimmen aber diese Mengen "uberein. (Bew. "Ubung) + +*Aber*: Wenn $f$ nicht bijektiv ist, hat $f^{-1}$ nur einen Sinn: Urbild! +#+end_notte + +*** Verkn"upfung von Abbildungen +#+ATTR_LATEX: :options {Verkn"upfung}{} +#+begin_definition +$f: X\mapsto Y, g: Y\mapsto Z$ ist die verkn"upfung $g\circ: X\mapsto Z$ definiert +als $g\circ f(x)=g(f(x))$. Diagramme Siehe V2_1. +#+end_definition + + +Die Verkn"upfung hat folgende Eigenschaften: +#+begin_relation + 1) Sie ist Assoziativ: $h\circ (g\circ f) = (h \circ g) \circ f$ f"ur alle Abb. $f: X\mapsto Y, g:Y\mapsto Z$, $h:Z\mapsto V$ + 2) F"ur jede abbildung $f: X\mapsto Y$ gilt: $f\circ id_X=id_Y\circ f = f$. + 3) Wenn $f:X\mapsto Y$ bijektiv ist, dann gilt: $f\circ f^{-1}=id_Y$: + - $f^{-1}\circ f=id_X$ weil: $f(f^{-1}(y))=y$: + - $f^{-1}(f(x))=x'$ mit $f(x')=f(x)\implies x=x'$ wenn /Bijektiv/ +#+end_relation + +*** Kommutative Diagramme +Siehe V2_2: + 1) Dieses Diagramm heist kommutativ, wenn $h=g\circ f$. + 2) kommutativ wenn $g\circ f=h\circ k$ + +*** Eingeschr"ankte Abbildungen +#+ATTR_LATEX: :options {Einschr"ankung}{} +#+begin_definition +Sei $f: X\mapsto Y$ eine Abbildung.\\ +Die Einschr"ankung von $f$ auf eine Teilmenge $A\subseteq X$ ist die Abbildung: +$f|_A:\begin{matrix}A\mapsto Y\\ a\mapsto f(a)\end{matrix}$ +#+end_definition + +#+begin_exa +$f: \mathbb{R}\mapsto \mathbb{R}, t\mapsto t^{2}$ ist nicht injektiv, $f|_{[0, +\infty)}$ ist injektiv. +#+end_exa + +*** Quantoren +#+ATTR_LATEX: :options {Quantoren}{} +#+begin_definition + - f"ur alle $x$ in $X$ - $\forall x \in X$ + - es existiert $x \in X$ - $\exists x \in X$ +#+end_definition + +#+begin_exa +$f:X\mapsto Y$ ist surjektiv, wenn $\forall y \in Y \exists x\in X$ mit $f(x)=y$. +#+end_exa + +F"ur die Negation der Quantoren gilt: +#+begin_relation + - $\neg(\forall x\in X : A(x)) = \exists x\in X : \neq A(x)$ + - $\neg(\exists x\in X : A(x)) = \forallx\in X : \neq A(x)$ +#+end_relation + +#+ATTR_LATEX: :options [] \label{} \ +#+begin_exa +$f: X\mapsto Y$ ist surjektiv $\iff \forall y\in Y \exists x\in X : f(x)=y$.\\ +Also: $f: X\mapsto Y$ ist *nicht* surjektiv $\iff \exists y\in Y \forall x\in X : f(x)\not=y$. +#+end_exa + +** Schlagworte + - Venn Diagram - Kreise und Schnittmengen + - Zeigen von "Aquivalenz zweier Zusammengeseten Mengen: + - Wahrheitstafel + - Zur"uckf"uhren auf Aussagenlogik + - Zeigen das $p,q,r$ "aquivalent sind: + - $p\implies q \implies r \implies q$ + - /Injektivit"at/ zeigen: + - nicht I. wenn Gegenbeispiel existiert + - Zeigen das Funktion streng monoton steigt. + - /Surjektivit"at/ zeigen: + - nicht S. wenn Gegenbeispiel existiert + - Zeigen das Funktion streng monoton steigt und gegen $+-\infty$ strebt. + - $A\setminus (A\setminus B) = A \cap B$ + - Beweise mit Abbildungen $M$ sei Menge, $f$ sei Abbildung: + - $y \in f(M) \implies \exists x \in M : f(x)=y$ + +* Logik und Beweisf"uhrung +Mathematik operiert mit *Aussagen*. + +#+ATTR_LATEX: :options {Aussage}{} +#+begin_definition +Eine Aussage ist eine Behauptung, die Wahr oder Falsch sein kann. +#+end_definition + +#+ATTR_LATEX: :options [Wahrheitswerte] \label{} +#+ATTR_LATEX: :options \ +#+begin_notation + - 1 :: wahr + - 0 :: falsche +#+end_notation + +$A,B$ seien Aussagen, dann kann man folgende Aussagen betrachten: +#+begin_relation + - ''nicht $A$'': $\neg A$ +| $A$ | 0 | 1 | +|----------+---+---| +| $\neg A$ | 1 | 0 | + + - Vernk"upfungen +| $A$ | $B$ | $\neg A$ | $A\wedge B$ | $A \vee B$ | $A\implies B$ | +|-----+-----+---------+-------------+------------+------------------| +| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | +| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | +| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | +| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | + + - ''A "aquivalent zu B'': $A\iff B$ +| $A$ | $B$ | $\iff A$ | +|-----+-----+----------| +| 0 | 0 | 1 | +| 0 | 1 | 0 | +| 1 | 0 | 0 | +| 1 | 1 | 1 | + +#+end_relation + +#+begin_exa +F"ur ein Element $x\in X$ k"onnen wir Aussagen betrachten: + 1) $A(x)=x\in A$ + 2) $B(x)=x\in B$ +$A(x)\wedge B(x)=x\in (A\cap B)$ +#+end_exa + +** Identit"aten der Aussagenlogik +#+begin_relation + 1) Direkter Beweis + - $(A\implies B) = (\neg A)\vee B$ + - Vorraussetzung $\rightarrow$ logische Aussage $\rightarrow$ Behauptung + 2) Beweis in Schritten + - $((A\implies B)\wedge (B\implies C))\implies (A\implies C)$ \\ + \rightarrow{} Konstant $=1$ (/Tautologie/) + 3) Beweis durch Kontraposition + - $(A\implies B) \iff (\neg B \implies \neg A)$ - /Tautologie/ +#+end_relation + +** Widerspruchsbeweis +Wenn wir die Konsequenz aus der Negation der zu beweisenden Aussage und die +Pr"amisse zu einem widerspruch f"uhren so ist die Aussage bewiesen, denn: +#+begin_relation +\[(A\wedge \neg A)=0\] +#+end_relation + + +Wir wollen $A\implies B$ zeigen. +Nehmen an $\neg B$ und leiten her:\\ +#+begin_relation +$(\neg B \wedge A)\implies 0$, also $\neg B\wedge A = 0$, und daher $A\implies +B$. +#+end_relation + +#+ATTR_LATEX: :options {Satz von Euklid}{} +#+begin_theo +Es gibt unendlich viele Primzahlen. +#+end_theo + +#+ATTR_LATEX: :options \ +#+begin_proof + 1) Nehmen wie an, es gibt nur endlich viele Primzahlen. $p_1, ..., p_n$. + 2) Betrachte $n=p_1\cdot p_2\cdot ... \cdot p_n + 1$. $n$ geteilt durch jede + von den Primzahlen $p_1, ..., p_n$ gibt Rest $1$. + 3) Also ist $n$ eine Primzahl, aber $n\not=p_1 ... p_n$ weil gr"osser. + 4) Folglich enth"alt die Menge ${p_1,...,p_n}$ nicht alle Primzahlen. +\indent\indent \rightarrow{} Das ist ein *Widerspruch*. ($(A\wedge \neg A) = 0$) +#+end_proof + + +#+begin_exa +Wir werden die Aussage: wenn $q$ eine gerade Primzahl ist $\implies q=2$ +beweisen. + +#+ATTR_LATEX: :options [Direkter Beweis] \label{} \ +#+begin_proof + 1) $q$ ist gerade $\implies q$ ist durch $2$ Teilbar f"ur $k\in\mathbb{N}$ + 2) $q$ ist aber eine Primzahl $\implies$ einer der Faktoren in $2\cdot k$ ist + gerade $1$, $2\not= 1$ + 3) $\implies k=1, q=2$ +#+end_proof + +#+ATTR_LATEX: :options [Kontraposition] \label{} \ +#+begin_proof +Wir m"ussen zeigen: $q\not= 2\implies$ ($q$ ungerade) $\vee$ ($q$ keine +Primzahl). Es reicht zu zeigen: ($q\not=2)\wedge(q$ ist eine Primzahl) +$\implies q$ ist ungerade! + 1) Wenn $q$ gerade ist, $q\cdot 2k$, also ist $k>1$ + 2) also $q\not= 2$ +#+end_proof + +#+ATTR_LATEX: :options [Widerspruchsbeweis] \label{} \ +#+begin_proof +Annahme: $q$ ist gerade, $q$ ist eine Primzahl, $q\not= 2$. Wir wollen einen +Widerspruch herleiten. + + 1) da $q$ gerade ist, gilt $q=2\cdot k$ f"ur ein $k\in \mathbb{N}$ + 2) da $q\not= 2$, gilt $k>1$ + 3) aber $q$ ist prim, also kann $q$ kein Produkt von zwei Zahlen sein! $\lightning$ +#+end_proof +#+end_exa + +* Komplexe Zahlen +Idee: Man m"ochte Quadratische Gleichungen ohne reelle Nullstellen trotzdem +l"osen, also erweitert man die reellen Zahlen. + +#+begin_relation +Die pototypische Quadratische Gleichungen ohne reelle L"osungen ist: $x^2+1 = +-1$.\\ +Man f"ugt K"unstlich die Zahl $i$ hinzu mit $i^2=-1$, m"oglichst unter +Beibehaltung der "ublichen Rechenregeln: man braucht also die Zahlen $b\cdot i : +b\in \mathbb{R}$ und $a+b\cdot i : a,b\in \mathbb{R}$. +#+end_relation + +Was passiert, wenn man solche Zahlen miteinander multipliziert ''als ob'' sie +normale Zahlen w"aren: +#+begin_relation +$(a+bi)\cdot(c+di)=ac+bc\cdot i+ad\cdot i+(-bd)=(ac-bd)+(bc+ad)\cdot i$ f"ur $a,b,c,d\in \mathbb{R}$ +#+end_relation + +Addieren kann man solche Ausdr"ucke auch: +#+begin_relation +$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)\cdot i$ +#+end_relation + +#+ATTR_LATEX: :options {Komplexe Zahlen}{} +#+begin_definition +Die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ sind die Menge der Paare $(a,b)\in +\mathbb{R}^2$ versehen mit der Addition $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ und der +Multiplikation $(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd, bc+ad)$. +#+end_definition + +#+ATTR_LATEX: :options [] \label{} \ +#+begin_notation + - Statt $(a,b)$ schreibt man auch $(a+bi)\in \mathbb{C}$. + - $i:=(0,1)=0+1\cdot i$: + - nach Multiplikation erf"ullt $i^2=-1$ +#+end_notation + +Man "uberpr"uft, dass die "ublichen Rechenregeln aus $\mathbb{R}$ weiterhin +gelten (/K"orperaxiome/): F"ur $z_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C}$ gilt, z.B.: +#+begin_relation + - $z_1\cdot (z_2+z_3)=z_1z_2+z_1z_3$ + - $z_1\cdot (z_2\cdot z_3)=(z_1\cdot z_2)\cdot z_3$ + - $z_1 + (z_2 + z_3)=(z_1 + z_2) + z_3$ +#+end_relation + +#+ATTR_LATEX: :options [] \label{} +#+begin_notte +$(\mathbb{R},+,\cdot)\subsetneq (\mathbb{C},+,\cdot)$ auf nat"urliche Weise als +der der Form $a+0\cdot i = (a,0)$, $a\in \mathbb{R}$. +#+end_notte + +#+ATTR_LATEX: :options {Real- und Imagin"aranteil}{} +#+begin_definition +F"ur $z=a+b\cdot i\in \mathbb{C}$ heisst: + - $a:=:Re(z)$ Realanteil von $z$ + - $b:=:Im(z)$ Imagin"aranteil von $z$ + +Also ist $z=Re(z)+ Im(z)\cdot i$. +#+end_definition + +#+ATTR_LATEX: :options {Rein Imagin"are Zahlen}{} +#+begin_definition +Die Zahlen der Form $b\cdot i : b\in \mathbb{R}$ heissen *rein Imagin"ar*. +#+end_definition + +F"ur reele Zahlen wissen wir: $\forall a\in \mathbb{R}$ mit $a\not= 0 \exists +a^{-1}\in \mathbb{R} mit $a*a^{-1}=1$. Gilt das auch in $\mathbb{C}$ ? + +#+ATTR_LATEX: :options {Komplexe Konjugation}{} +#+begin_definition +F"ur $z\in \mathbb{C}$ heisst die Zahl $\overline{z}:=a-bi$ die komplex +konjugierte Zahl zu $a+bi$. +#+end_definition + +#+ATTR_LATEX: :options [] \label{} +#+begin_exa +$\overline{1+i}=1-i$ +#+end_exa + +#+begin_relation +$z*\overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2\geq -$ mit Gleichheit genau dann, wenn $z=0$. +#+end_relation + +#+ATTR_LATEX: :options {Betrag der Komplexen Zahl}{} +#+begin_definition +$|z|:=\sqrt{x\cdot \overline{z}}=\sqrt{a^2+b^2}$ mit $z=a+bi$. +#+end_definition + +** Inverses zu einer komplexen Zahl +Das Inverse zu $z\not= 0$: +#+begin_relation +$z\cdot \frac{\overline{z}}{|z|^2}=1$ \\ +Also: $\forall z\not= 0 \exists z^{-1} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}$ mit $z \cdot z^{-1}}=1$ +#+end_relation + +#+ATTR_LATEX: :options [] \label{} \ +#+begin_exa +$(1+i)^{-1}=\frac{1-i}{2}$ +#+end_exa + +Mnemonische Rechenregel, Multipliziere mit dem Inversen: +#+begin_relation +$\frac{1}{1+i}=\frac{1-i}{(1+i)(1-i)}=\frac{1-i}{2}$ +#+end_relation + +** Geometrische Interpretation von $\mathbb{C}$ +Siehe Zeichung $C_1$. + +#+begin_relation + - Addition: als Addition von Vektoren + - Betrag: L"ange des Vektors + - $\varphi$ - Winkel zwischen der reellen Achse und dem Vektor der $z$ entspricht, + gez"ahlt gegen den Urzeigersinn. +#+end_relation + +Es folgt: +#+begin_relation +$a=|z|\cdot \cos(\varphi)$ und $b=|z|\cdot \sin(\varphi)$ +#+end_relation + +#+ATTR_LATEX: :options [] \label{} +#+begin_notte +$\varphi$ ist nicht eindeutig bestimmt, sondern bis auf Addition von eines +vielfachen von $2\pi$. +#+end_notte + +#+ATTR_LATEX: :options [] \label{} +#+begin_exa +$\varphi=\frac{\pi}{4}$ und $\varphi=-\frac{7\pi}{4}$ sind im geometrischen Bild von +$\mathbb{C}$ "aquivalent. +#+end_exa + +#+ATTR_LATEX: :options {}{} +#+begin_definition +Der wert von $\varphi$, welcher in $[0, 2\pi)$ liegt, heisst Hauptargument von $z$, +$arg(z)=\varphi$.\\ +Das Argument von $z$ ist die Menge von allen $\varphi \in R$,4 +$z=|z|(\cos(\varphi)+i\cdot \sin(\varphi))$, $Arg\, z = {\varphi \in R : |z|(\cos(\varphi)+i\cdot \sin(\varphi))}$. +#+end_definition + +#+ATTR_LATEX: :options [] \label{} +#+begin_notte +$Arg\, z= {arg(z)+2\pi\cdot k : k\in \mathbb{Z}}$ +#+end_notte + +#+ATTR_LATEX: :options [] \label{} \ +#+begin_exa +Seien $z_1=|z_1|\cdot \cos(\varphi_1)+i\cdot \sin(\varphi_1)$, $z_2=|z_2|\cdot +\cos(\varphi_2)+i\cdot \sin(\varphi_2)$ zwei komplexe Zahlen.\\ + +So gilt: $z_1\cdot z_2 = |z_1|\cdot |z_2|(\cos(\varphi_1+\varphi_2)+i\cdot \sin(\varphi_1 + +\varphi_2))$ +#+end_exa + +#+begin_relation +Bei der Multiplikation von komplexen Zahlen multiplizieren sich die Betr"age, +und die Argumente addieren sich. +#+end_relation + +F"ur geometrische Interpretation: Siehe $C_2$. + +Besonders n"utzlich ist dies f"ur die Multiplikation einer komplexen Zahl vom +Betrag $1$: +\begin{align*} +|z|=1\iff z=\cos(\varphi)+i\cdot \sin(\varphi)$ f"ur ein $\varphi \in \mathbb{R} +\end{align*} + +#+begin_relation +Es liegen $\{z\in \mathbb{C} : |z|=1\}$ auf dem Einheitskreis. +Die Multiplikation mit von komplexen Zahlen Zahlen mit dem Betrag 1 entspricht +also der Rotation gegen den Urzeigersinn um $\varphi$. +#+end_relation + +** Exponentialform der komplexen Zahlen +#+ATTR_LATEX: :options [] \label{} \ +#+begin_notation + - Exponentialform: $\cos(\varphi)+i\cdot \sin(\varphi):=e^{i\cdot \varphi}$ + - es gilt $e^{i(\varphi_k)}, k\in\mathbb{R}$ sind die Zahlen auf dem Einheitskreis +#+end_notation + +#+ATTR_LATEX: :options {Exponentialform der komplexen Zahlen}{} +#+begin_definition +Die Exponentialform f"ur jede komplexe Zahl $z\in\mathbb{C}$ lautet $z=|z|e^{i\cdot arg\,z}$. +#+end_definition + +Mit dieser Notation folgt: +#+begin_relation + $(e^{i\varphi})^n=(\cos(\varphi)+i\cdot\sin(\varphi))^2=e^{n\cdot i\cdot + \varphi}=\cos(n\varphi)+i\cdot\sin(n\varphi)$ f"ur alle $n\in\mathbb{N}$ +#+end_relation + +#+ATTR_LATEX: :options [] \label{}\ +#+begin_exa +\begin{align*} +\begin{split} +(\cos(\varphi)+i\pcdot \sin(\varphi))^2 & =\cos^2(\varphi)-\sin^2(\varphi)+2\cdot\sin(\varphi)\cdot\cos(\varphi) \\ + & = \cos(2\varphi) + 2\sin(2\varphi) \\ +& \implies +\begin{cases} +\cos(2\varphi)=\cos^2(\varphi)-\sin^2(\varphi) \\ +\sin(2\varphi)=2\cdot\sin(\varphi)\cdot\cos(\varphi) +\end{cases} +\end{split} +\end{align*} +#+end_exa + +** Einscheitswurzeln +Sei die gleichung $x^n=a$ "uber $\mathbb{R}$ gegeben. Je nach Vorzeichen von +$a$ und Parit"at von $n$, gibt es Varianten f"ur die Anzahl der L"osungen. +#+begin_relation +In $\mathbb{C}$ hat aber die Gleichung $z^n=a$ f"ur ein $a\in +\mathbb{C}\setminus \{0\}$ immer genau $n$ L"osungen. +#+end_relation + +Sei $w\in \mathbb{C}$ mit $w^n=a$. Dann gilt $(\frac{z}{w})^n=1$ f"ur jedes +$z\in \mathbb{C}$ mit $z^n=a$. *Also* l"osen wir erst mal die Gleichung $z^n=1$, +und dann reduzieren wir den allgemeinen Fall darauf. + +#+ATTR_LATEX: :options {Einheitswurzel}{} +#+begin_definition +Eine Zahl $z\in \mathbb{C}$ heisst $n\text{-te}$ Einheitswurzel, wenn $z^n=1$. +#+end_definition + +#+ATTR_LATEX: :options [] \label{} +#+begin_proposition +F"ur jedes $n\geq, n\in\mathbb{N}$ existieren genau $n$ +Einheitswurzeln in $\mathbb{C}$. Sie sind durch die Formel +$z_k=e^{\frac{2\pi\cdot k\cdot i}{n}},\quad k=0,1,...,n-1$ gegeben. +#+end_proposition + +#+ATTR_LATEX: :options [] \label{} \ +#+begin_proof +$z_k$ sind $n\text{-te}$ Einheitswurzeln denn: +\begin{align*} +z_k^n & = (e^{\frac{2\cdot\pi\cdot k}{n}})^n \\ +& = e^{2\pi\cdot k} \\ +& = 1 +\end{align*} + + +Wir m"ussen noch zeigen, dass jede $n\text{-te}$ Einheitswurzel von dieser Form +ist. \\ + +Sei $z\in\mathbb{C}$ mit $z^n=1$. Es gilt: + +\begin{align*} +|z|^n & =|z^n|=1 \\ +& \implies |z|=1 \\ +& \implies z=e^{i\cdot\varphi} \tag*{f"ur ein $\varphi\in[0, 2\pi)$} \\ +& \implies 1 = z^n \\ +& = (e^{i\varphi})^n=e^{i\varphi\cdot n} \\ +& =\cos(n\varphi)+i\cdot \sin(n\varphi) +\end{align*} + +Also folgt: +\begin{gather*} +\cos(n\varphi)=1,\;\sin(n\varphi)=0 \\ +\implies n\cdot\varphi = 2\pi\cdot k \tag*{f"ur ein $k\in \mathbb{Z}$} \\ + \implies \varphi = \frac{2\pi\cdot k}{n} \tag*{f"ur ein $k\in \mathbb{Z}$} +\end{gather*} + + +Da $\varphi$ in $[0,2\pi)\implies 0\leq k < n$. +#+end_proof + +Wenn wir jetzt also eine Gleichung $z^n=a$ l"osen wollen, reicht es, eine +L"osung $w$ zu finden, die anderen L"osungen bekommt man als $w\cdot z_k,\; +k=0,...,n-1$ mit $z_k$, der $n\text{-ten}$ Einheitswurzeln: $z^n=a\iff +(\frac{z}{w})^n=1$.\\ + +Eine L"osung $w$ kann man folgendermassen finden: +#+begin_relation + +\begin{align*} +\text{Schreiben wir a}\; & =|a|\cdot e^{i\cdot \psi}\; \text{f"ur ein $\psi\in \mathbb{R}$} \\ +\text{Dann gilt: } +w & =\sqrt[n]{|a|}\cdot e^{\frac{i\cdot\psi}{n}} \text{ l"ost $w^n=a$} \\ +& \\ +\left(\sqrt[n]{|a|}\cdot e^{\frac{i\cdot\psi}{n}}\right)^n & = \sqrt[n]{|a|}\cdot e^{\frac{i\cdot\psi}{n}\cdot n} \\ +& = |a|\cdot e^{i\cdot \psi} \\ +& = a +\end{align*} +#+end_relation + +Gemetrische Interpretation: regul"ares $n\text{-Eck}$. + +\newpage + +* Lineare Gleichungsysteme +Wir werden die Bezeichung $K$ f"ur $\mathbb{R}$ oder $\mathbb{C}$ verwenden. + +#+ATTR_LATEX: :options {Lineare Gleichung}{} +#+begin_definition +Eine Lineare Gleichung "uber $K$ ist eine Gleichung der Form +$a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n=b$.\\ +Hierbei sind $x_1,...,x_n$ die Variablen und $a_1,...,a_n,b \in K$, die Koeffizienten. +#+end_definition + +#+ATTR_LATEX: :options {Lineares Gleichunssystem}{} +#+begin_definition +Ein Lineares Gleichungsystem ist eine endliche Menge von Gleichungen: +\[{\displaystyle {\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}\,+&\cdots +&+\,a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}\,+&\cdots +&+\,a_{2n}x_{n}&=&b_{2}\\&&&\vdots &\\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}\,+&\cdots +&+\,a_{mn}x_{n}&=&b_{m}\\\end{matrix}}}\] +#+end_definition + +Ein L"osung von diesem Gleichungssystem ist ein \[n\text{-Tupel } +\left( \begin{matrix} x_{1}\\ \vdots\\ x_{n}\end{matrix} \right) \in K^{n} \] +dass jede Gleichung erf"ullt. Ein lineares Gleichungssystem (LGS) zu l"osen, +heisst, alle L"osungen zu finden. + +#+begin_relation +*Idee*: Man formt das LGS durch Operationen um, die die Menge der L"osungen nicht +ver"andern. Solche Operationen heissen "Aquivalenzumformungen. Diese sind unter +anderem: + 1) Multiplikation einer Gleichung mit einer zahl $\alpha\in K\setminus \{0\}$ + 2) Addierung von einer Gleichung zu der anderen (z.B. Ersetzen der zweiten + Gleichung durch die Summe der ersten und zweiten.) + 3) Vertauschen von zwei Gleichungen; dies kann man auf Operationen von Typ eins + und Zwei zur"ukf"uhren +#+end_relation + +Wir werden ein LGS umformen, um es auf eine Form zu bringen, wo die L"osung +offensichtlich ist. + +Wir beobachten: +#+begin_relation +Es ist "uberflu"ssig, die Variablen mitzuschleppen. Man k"onnte statdessen die +''Tabellen'' von Koeffizienten umformen. +#+end_relation + +#+ATTR_LATEX: :options {}{} +#+begin_definition +Eine $M\times N$ Matrix $A$ ist eine Tabelle der Gr"osse $m\times n$, gef"ullt +mit Elementen aus $K$. +\[A=(a_{ij})_{\substack{i=1,\cdots,m \\ j=1,\cdots,n}}\] +#+end_definition + +#+ATTR_LATEX: :options [] \label{} +#+begin_exa +\[ + A=\left( \begin{matrix} 1& 1\\ 2& -3\end{matrix} \right) +\] + +Wobei $a_{11} = 1$, $a_{21} = 2$, $a_{12}=1$ und $a_{22}=-3$. +#+end_exa + +#+begin_relation +Gegeben ein LGS ($*$), k"onnen wir eine Matrix \[ A=\left( \begin{matrix} +a_{11}& \cdots & a_{1n}\\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1}& \ldots & +a_{nn}\end{matrix} \right) \] aufstellen. Sie heisst Koeffizientenmatrix des +LGS. Auch stellen wir \[b=\left( \begin{matrix} b_{1}\\ \vdots +\\ b_{n}\end{matrix} \right)\] +eine $m\times 1$ Matrix (Spalte) auf. (Sie +heisst rechter Teil des LGS). Die Matrix $A'=(A\mid b)$ heisst erweiterte +Koeffizientenmatrix des LGS ($*$). +#+end_relation + + +#+ATTR_LATEX: :options {Elementare Zeilenumforumungen}{} +#+begin_definition +Die "Aquivalenzumformungen des LGS, die wir vorhin betrachtet haben, entsprechen +dann folgenden Umformungen von der erweiterten Koeffizientenmatrix: +\begin{itemize} + \item[1'.] Multiplikation einer Zeile mit $\alpha \in K^\times$ + \item[2'.] Addieren von einer Zeile zu der anderen. +\end{itemize} +Wir werden dann versuchen, die (erweiterten koeffzienten-) Matrizen durch diese +Umformungen auf eine Form zu bringen, in der man die L"osung leicht ablesen +kann. + +$1'$ und $2'$ heissen elementare Zeilenumforumungen. +#+end_definition + +Weitere Zeilenumformungen, die man aus diesen erhalten kann: +#+begin_relation + - Vertauschen Zweier Zeilen + - Addieren einer Zeile, Multipliziert mit $\alpha \not= 0$ +#+end_relation + +Ziel ist eine gegebe erweiterte Koeffizientenmatrix $(A\mid b)$, durch +Zeilenumformungen zu einer Matrix umzuformen, aus der man die L"osung leicht +ablesen kann. + +#+ATTR_LATEX: :options {Pivotelement}{} +#+begin_definition +Gegeben einer Zeile $Z=(a_1,...,a_n)\in K^n$, nennen wir das erste Element +$a\not= 0$ das Pivotelement. +Wenn $Z=(0,...,0)$ ist dann gibt es kein Pivotelement. +#+end_definition + +#+ATTR_LATEX: :options {Zeilenstufenform}{} +#+begin_definition +Eine Matrix $A$ hat Zeilenstufenform, wenn folgendes gilt: + 1) Die Nummern von Pivotlementen der Zeilen von $A$ bilden eine aufsteigende + Folge. + 2) Die Nullzeilen, falls existent, stehen am Ende. +#+end_definition + +#+ATTR_LATEX: :options [] \label{} \ +#+begin_exa +#+attr_latex: :mode math :environment pmatrix +| 0 | $a_{12}$ | $a_{13}$ | +| 0 | 0 | $a_{23}$ | +| 0 | 0 | 0 | + +#+end_exa + +#+ATTR_LATEX: :options {Gauss}{} +#+begin_theo +Jede Matrix kann durch elementare Zeilenumformungen auf die Stufenform gebracht +werden. +#+end_theo + +#+ATTR_LATEX: :options [] \label{} +#+begin_proof +Sei $A=\begin{matrix}a_{11}&...&a_{nn}\end{matrix}$. \\ +Wenn $A=0$ - Bewiesen. \\ +Wenn $A\not=0$, dann gibt es eine Spalte $\not= 0$. Sei +$j_1$ die Nummer dieser Spalte. Durch vertausche von Zeilen erreichen wir +zun"achst $a_{1j_1}}\not= 0$. Multiplaktion der ersten Zeule mit +$\frac{1}{j_1}$. Jetzt Subtrahiere von jeder Zeile ab der Zweiten die erste +Zeile multipliziert mit $a_{kj_1}$ ($k=$ Nummer der Zeile). \\ + +Wir erhalten dann Restmatrix $A_1