From d75a21c1f0adc635062314fa2ba3427889bac5c8 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Friedrich Date: Fri, 8 Dec 2017 02:31:02 +0100 Subject: [PATCH 1/6] Abschnitt Permutationen --- Lineare_Algebra.tex | 65 +++++++++++++++++++-------------------------- 1 file changed, 27 insertions(+), 38 deletions(-) diff --git a/Lineare_Algebra.tex b/Lineare_Algebra.tex index 9c85dbb..7a68b8d 100644 --- a/Lineare_Algebra.tex +++ b/Lineare_Algebra.tex @@ -2,7 +2,6 @@ % Intended LaTeX compiler: pdflatex \documentclass[11pt]{article} \usepackage[utf8]{inputenc} -\usepackage{concmath} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{graphicx} \usepackage{grffile} @@ -2029,7 +2028,7 @@ Das stimmt denn: dieses Verfahren l"ost gleichzeitig die LGS ... \begin{proof}[des Satzes] \begin{itemize} - \item[(0) $\implies$ (1)] $A=M^{\epsilon}_{\epsilon}(f_A)$, woberi $f_A:$ + \item[(0) $\implies$ (1)] $A=M^{\varepsilon}_{\varepsilon}(f_A)$, woberi $f_A:$ \item[(1) $\implies$ (0)] Sei $A$ invertierbar, $A=$ Betrachten wir die Abbildung $g$ mit ..., es gilt: \item[(1) $\iff$ ($1^T$)] ... @@ -2149,57 +2148,47 @@ Wir wollen die Abh"angigkeit aus dem lemma explizit aufschreiben \subsubsection{Permutationen} \label{sec:perm} -\begin{definition} - Sei $X$ eine Menge. Eine bijektion $\sigma: X \mapsto X$ heisst Permutation - von X. -\end{definition} - -\begin{definition} - Fur ... heisst die Permutation die symetrische Gruppe aus $n$ elementen, - bezeichnet als. +\begin{definition}{Permutationen}{} + Sei $X$ eine Menge. Eine Bijektion $\sigma: X \to X$ heißt Permutation + von X. \newline + Für \(X = \{1,...,n\}\) heißt die Menge aller Permutationen \(\sigma: \{1,...,n\}\to\{1,...,n\}\) die symmetrische Gruppe auf n Elementen. Notation: \(S_n = \{ \sigma: \{1,...,n\}\to\{1,...,n\}|\sigma\text{ bijektiv}\}\) \end{definition} \begin{exa} - Ein Elelement ... schreibt man h"aufig als Tabelle: + Ein Elelement \(\sigma \in S_n\) schreibt man h"aufig als Tabelle: + + \(\left(\begin{array}{cccc} + 1 & 2 & ... & n\\ + \sigma(1) & \sigma(2) & ... & \sigma(n)\\ + \end{array}\right)\) \end{exa} \begin{notte} $\tau\circ\sigma \not= \sigma\circ\tau$ \end{notte} -\begin{folgerung} - \begin{itemize} - \item Da Verkn"upfungen von Bijektionen bijektiv sind, definiert .... - \item Ist auch assoziativ. - \item Permutationen sind kommutativ. - \end{itemize} -\end{folgerung} +Da Verknüpfungen von Bijektionen bijektiv sind, definiert die Verknüpfung eine Abbildung \(\circ: S_n \times S_n \to S_n \) (Multiplikation von Permutationen). Permutationen kann man auch invertieren: \(\sigma \in S_n \implies \sigma^{-1} \in S_n \) -\begin{definition} - Sei $P=\{\}$. Ein halbsystem in $P$ ist eine Halbmenge mit folgender - Eigenschaft: von den Paaren $(i,j), (j,i)\in P$ ist in $H$ jeweils genau eine enthalten. +\begin{definition}{Halbysystem}{} + Sei \(P=\{(i,j) \in \{1,...,n\}^2\mid i\neq j \} \) Ein Halbsystem \(H \subseteq P \) ist eine Teilmenge mit der Eigenschaft: Von den Paaren \((i,j) \) und \((j,i) \) ist immer genau eines in P enthalten. Formal: + \(\forall (i,j) \in P: ((i,j) \in H \land (j,i) \notin H) \lor ((j,i) \in H \land (i,j) \notin H )\) \end{definition} \begin{exa} - $n=3$ + Für \(n=3 \) ist \(\{(1,2), (1,3), (2,3)\} \) ein Halbsystem. \end{exa} -\begin{definition} - Sei $\sigma\in S_n$. $\exists$... heisst Vorzeichen von $\sigma$ - \begin{enumerate} - \item $\epsilon$ ist unabh"angig von der Wahl von $H$: Wenn $H'$ ein anderes - halbsystem ist, dann mann jeden Faktor ggf. $(j,i)$ statt $(i,j)$ nehmen, - aner ... - \item $\epsilon(\sigma) \in \{0, 1\}$ - \end{enumerate} +\begin{definition}{Vorzeichen}{} + Sei \(\sigma \in S_n. \quad \varepsilon(\sigma):= \prod\limits_{(i,j)\in H} \frac{\sigma(i)-\sigma(j)}{i-j} \) heißt Vorzeichen von \(\sigma \). \end{definition} -\begin{notte}[Interpretation f"ur $\epsilon (\sigma)$] - $d$ .. Anzahl der ''Reihenfolgeverst"osse'' in $\sigma$ -\end{notte} -\begin{proof} - ... -\end{proof} +\(\varepsilon(\sigma) \) ist unabhängig von der Wahl von H, denn: Wenn \(H^\prime \) ein anderes Halbsystem ist, muss ggf. \((j,i) \) statt \((i,j) \) genommen werden, aber \(\frac{\sigma(j)-\sigma(i)}{j-i} = \frac{\sigma(i)-\sigma(j)}{i-j} \). +Das heißt, wir können uns einfach ein Halbsystem aussuchen: +\(\varepsilon(\sigma) = \prod\limits_{i\sigma(j)}} (-1)\]\[ = \text{Minus eins hoch Anzahl der „Reihenfolgenverstöße“ von }\sigma\] + \begin{definition} Die Permutationen ... heissen gerade ... ungerade. @@ -2209,12 +2198,12 @@ Wir wollen die Abh"angigkeit aus dem lemma explizit aufschreiben \begin{proposition}[das Vorzeichen ist multiplikativ] - $\epsilon(\sigma\circ \tau)= \epsilon (\sigma) \cdot \epsilon (\tau)$ + $\varepsilon(\sigma\circ \tau)= \varepsilon (\sigma) \cdot \varepsilon (\tau)$ \end{proposition} \begin{relation} - Sei $\tau_{ij}$ eine Transposition: $\epsilon(\tau_{ij})=-1$. + Sei $\tau_{ij}$ eine Transposition: $\varepsilon(\tau_{ij})=-1$. \end{relation} \begin{proposition} From 06bd40ca6ea2718c72a10df576d8ce32626ab3d4 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: sammecs Date: Tue, 12 Dec 2017 20:44:38 +0100 Subject: [PATCH 2/6] =?UTF-8?q?F=C3=BCge=20Abschnitt=20"Basiswechselmatriz?= =?UTF-8?q?en=20sind=20invertierbar"=20hinzu?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit Mehr isses nich boyz and girlz, hatte das noch aufm Laptop und noch nicht commited. --- Lineare_Algebra.tex | 8 ++++++++ 1 file changed, 8 insertions(+) diff --git a/Lineare_Algebra.tex b/Lineare_Algebra.tex index 7a68b8d..d41560a 100644 --- a/Lineare_Algebra.tex +++ b/Lineare_Algebra.tex @@ -1924,6 +1924,14 @@ Wenn \(V\) ein Vektorraum ist, \(B,B'\) zwei Basen, dann erhalten wir die Basisvektoren \((b_1', \dots, b_n')\) bez"uglich der alten Basis \(B = (b_1, \dots, b_n)\) sind. Es folgt sofort aus den Definitionen: \(S=M^{B'}_B(\mId_V)\) + +\begin{lemma}[Basiswechselmatrizen sind invertierbar] + \(S = M^{B'}_B(\mId_V)\) ist invertierbar f"ur je zwei Basen \(B, B' \subset V\), und \(S^{-1} = M^B_{B'}(\mId_V)\). +\end{lemma} +\begin{prof} + \(M^B_B(\mId_V)=1_n\), daher ist + \[\underbrace{M^{B'}_B(\mId_V)}_{S}\cdot M^B_{B'}(\mId_V) = M^B_B(\mId_V) = 1_n \]\qed +\end{prof} \subsubsection{Basen und Abbildungsmatrizen (Zusammenfassung)} From 2c7c53b1981e5127fdab3b71e13688fb9ed1ded5 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: sammecs Date: Tue, 12 Dec 2017 20:55:08 +0100 Subject: [PATCH 3/6] "prof" zu "proof" umbenannt und `\qed`s entfernt --- Lineare_Algebra.tex | 11 +++++------ 1 file changed, 5 insertions(+), 6 deletions(-) diff --git a/Lineare_Algebra.tex b/Lineare_Algebra.tex index d41560a..ab42b06 100644 --- a/Lineare_Algebra.tex +++ b/Lineare_Algebra.tex @@ -1811,7 +1811,7 @@ Ferner gilt: \(\mIm(f) = U_1 + U_2\) per Definition. Nun ist: \mKer(f) &= \{(u_1, u_2) | u_1 \in U_1, u_2\in U_2, u_1 + u_2 = 0\} = \{(u, -u)| u \in U_1 \cap U_2 \}\\ &\implies \dim\mKer (f) = \dim(U_1 \cap U_2)\\ &\implies \underbrace{\dim(U_1 \cap U_2)}_{\dim\mKer(f)} + \underbrace{\dim(U_1 + U_2)}_{\dim\mIm(f)} = \underbrace{\dim(U_1) + \dim(U_2)}_{\dim (U_1\times U_2)} -\end{align*}\qed +\end{align*} \end{proof} Was hat diese ganze Theorie mit Matrizen zu tun? Intuitiv: Abbildungen sind @@ -1837,7 +1837,6 @@ Wenn \(f_1, f_2 \in \mHom_\mathbb{K}(V,W)\): (f_1 + f_2)(v) &= f_1(v) + f_2(v) \quad\text{ist linear} \\ (\lambda f_1)(v) &= \lambda\cdot f_1(v)\quad\text{ist auch linear} \end{align*} -\qed \end{proof} Seien \(V, W\) endlichdimensional, \(B = \{b_1, \dots, b_n\}\) Basis in \(V\), \(C = \{c_1, \dots, c_m\}\) Basis in \(W\). Sei \(f \in \mHom_\mathbb{K}(V,W)\). Die Abbildungsmatrix \(F= M_C^B(f)\) in \(f\) bzgl. \(B\) und \(C\) ist definiert als @@ -1882,7 +1881,7 @@ f\left(\sum_{j=1}^n\lambda_jb_j\right) = \sum_{j=1}^n\lambda_j\cdot\left(\sum_{i \(f\) ist linear und es gilt: \begin{align*} f(b_j) = \sum_{i=1}^mF_{ij}c_i \implies M^B_C(f) = F -\end{align*}\qed +\end{align*} \end{proof} Im Beweis haben wir unter anderem festgestellt: @@ -1928,10 +1927,10 @@ Wenn \(V\) ein Vektorraum ist, \(B,B'\) zwei Basen, dann erhalten wir die \begin{lemma}[Basiswechselmatrizen sind invertierbar] \(S = M^{B'}_B(\mId_V)\) ist invertierbar f"ur je zwei Basen \(B, B' \subset V\), und \(S^{-1} = M^B_{B'}(\mId_V)\). \end{lemma} -\begin{prof} +\begin{proof} \(M^B_B(\mId_V)=1_n\), daher ist - \[\underbrace{M^{B'}_B(\mId_V)}_{S}\cdot M^B_{B'}(\mId_V) = M^B_B(\mId_V) = 1_n \]\qed -\end{prof} + \[\underbrace{M^{B'}_B(\mId_V)}_{S}\cdot M^B_{B'}(\mId_V) = M^B_B(\mId_V) = 1_n \] +\end{proof} \subsubsection{Basen und Abbildungsmatrizen (Zusammenfassung)} From 3c3b65e481e0febfe5d0554bd61175dc02b169b6 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: sammecs Date: Tue, 12 Dec 2017 22:08:59 +0100 Subject: [PATCH 4/6] =?UTF-8?q?Erg=C3=A4nze=20Permutationen=20und=20Volume?= =?UTF-8?q?nform?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit Beim letzten Abschnitt bin ich mir nicht ganz so sicher, kann da jemand probelesen? --- Lineare_Algebra.tex | 49 ++++++++++++++++++++++++++++++--------------- 1 file changed, 33 insertions(+), 16 deletions(-) diff --git a/Lineare_Algebra.tex b/Lineare_Algebra.tex index ab42b06..80f7be2 100644 --- a/Lineare_Algebra.tex +++ b/Lineare_Algebra.tex @@ -2221,30 +2221,47 @@ Das heißt, wir können uns einfach ein Halbsystem aussuchen: Jede Permutation ist als Produkt von Transpositionen darstellbar ("Ubung) \end{notte} -\begin{trivlist} -\item Sei $v$ ein Vektorraum $b_1, ..., b_n$ eine Basis und $v_1, ..., v_n \in - V$ mit darstellungen $v_i = \sum_{i=1}^n{\lambda_{ij}\cdot b_j}$. - -\item - \begin{align*} - \omega(v_1,...,v_n) = \omega (...) & ... \\ - = ... & = ... - \end{align*} - \end{trivlist} +Sei \(V\) ein Vektorraum, \(b_1, ..., b_n\) eine Basis, \(v_1, ..., v_n \in +V\) mit Darstellungen \(v_i = \sum_{i=1}^n{\lambda_{ij}\cdot b_j}\). - Wenn $V=K^n, (b...$ die Standartbasis in $K^n$, und die Volumenform $\omega: - V^n\mapsto K$ so gew"ahlt istm dass $\omega(e_1,...,e_n)$, dann bekommt man - folgende Definition f"ur eine Matrix $A$: +\todo{Das stand so nicht an der Tafel, aber \((-1)^\varepsilon\) kam mir spanisch vor} +\begin{align*} + \omega(v_1,\dots,v_n) &= \omega\left(\sum_{j_1=1}^n\lambda_{1,j_1}b_{j_1},\dots,\sum_{j_n=1}^n\lambda_{n,j_n}b_{j_n}\right) \\ + &= \sum_{j_1,\dots,j_n=1}^n\left(\underbrace{\lambda_{1,j_1}\dots\lambda_{n,j_n}}_{\text{Produkt}}\cdot\omega(b_{j_1},\dots,b_{j_n})\right) \\ + &= \sum_{\sigma\in S_n}\left(\lambda_{1,\sigma(1)}\dots\lambda_{n,\sigma(n)}\omega(b_{\sigma(1)},\dots,b_{\sigma(n)})\right) \\ + &= \left(\sum_{\sigma\in S_n}{\varepsilon(\sigma)}\lambda_{1,\sigma(1)}\dots\lambda_{n,\sigma(n)}\right)\omega(b_1,\dots,b_n) +\end{align*} + + + Wenn \(V=K^n, (b_1,\dots,b_n) = (e_1,\dots,e_n)\) die Standardbasis in \(K^n\), und die Volumenform \(\omega: + V^n\to K\) so gew"ahlt ist, dass \(\omega(e_1,...,e_n)=1\), dann bekommt man + folgende Definition f"ur eine Matrix \(A\): \begin{definition} - Wenn ... eine Matrix mit eintr"agen $a_{ij}$. Wenn man die Zeilen als - Vektoren in $K^n$ auffast, dann gilt:... + Sei \(A\in K^{n\times n}\) eine Matrix mit Eintr"agen \(a_{ij}\). Wenn man die Zeilen von \(A\) (sagen wir \(\alpha_1,\dots, \alpha_n\)) als + Vektoren in \(K^n\) auffast, dann gilt: \[\omega(\alpha_1,\dots,\alpha_n) = \sum_{\sigma\in S_n}{\varepsilon(\sigma)a_{1,\sigma(1)}\dots a_{n,\sigma(n)}} =: \det A \] + Das nennen wir ab jetzt auch Leibniz-Formel. \end{definition} \begin{relation} - Geometrische Bedeutung: + Geometrische Bedeutung: \(\det A\) ist das (orientierte) Volumen des Quaders / Parallelotops aufgespannt durch Zeilen von \(A\) (wenn man das Volumen des \gq{Standardquaders} aufgespannt durch Standardzeilen \(e_1^T,\dots,e_n^T\) gleich 1 setzt) \end{relation} +\begin{proposition} + Sei \(V\) ein \(n\)-dimensionaler Vektorraum. Es gibt eine bis auf ein Vielfaches eindeutige Volumenform \(\omega \neq 0\) auf \(V\). +\end{proposition} +\begin{proof} + W"ahle eine Basis \(B= (b_1,\dots,b_n) \in V\), definiere \(\omega(v_1,\dots,v_n)\) durch die Leibniz-Formel mit \(\omega(b_1,\dots,b_n):=1\). Dann ist \(\omega\neq 0\) nach Konstruktion. \(\omega\) ist linear in jeder Variable, weil \(\det\Delta \) definiert durch die Leibniz-Formel linear in jeder Zeile der Matrix \(\Delta\) ist. Wir m"ussen noch zeigen, dass es alternierend ist: \[\omega(v_1,\dots,v_{i-1},v_i,v_{i+1},\dots,v_{j-1},v_j,v_{j_1},\dots,v_n) = \det\Delta \cdot\omega(b_1,\dots,b_n) \] Wobei die \(i\)-te und \(j\)-te Zeile von \(\Delta\) "ubereinstimmen. Es gilt: + \begin{align*} + \det\Delta &= \sum_{\sigma\in S_n}\varepsilon(\sigma)\lambda_{1,\sigma(1)}\dots\lambda_{n,\sigma(n)} \\ + &= \sum_{\sigma = \sigma'\circ\tau_{ij}\in S_n}\varepsilon(\sigma)\lambda_{1,\sigma(1)}\dots\lambda_{i,\sigma(i)}\dots\lambda_{j,\sigma(j)}\dots\lambda_{n,\sigma(n)} \\ + &= \sum_{\sigma\in S_n}\varepsilon(\sigma'\circ\tau_{ij})\cdot\lambda_{1,\sigma'(1)}\dots\overbrace{\lambda_{i,\sigma'(j)}}^{=\lambda_{i,\sigma(i)}}\dots\overbrace{\lambda_{j,\sigma'(i)}}^{=\lambda_{j,\sigma(i)}}\dots \lambda_{n,\sigma'(n)} \\ + &= - \sum_{\sigma'\in S_n} \epsilon(\sigma') \lambda_{1,\sigma'(1)}\dots(-\lambda_{j,\sigma'(j)})\dots\lambda_{i,\sigma'(i)}\dots\lambda_{n,\sigma'(n)} = -\det A \\ + &\implies \det A = 0 + \end{align*} + \(\implies\omega \) alternierend. +\end{proof} + \subsection{Schlagworte:} \label{sec:orgcf8c685} \begin{itemize} From 16ffa51eac671bd7a5407a934d13a4e4a6ffe7b5 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: sammecs Date: Wed, 13 Dec 2017 13:35:26 +0100 Subject: [PATCH 5/6] Korrigiere Fehler zur Volumenform MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit Weiterhin wurde ein Kommando `\mcolor[color]{content}` eingeführt: nach [diesem](https://tex.stackexchange.com/questions/21598/how-to-color-math-symbols) Post wird die Färbung im Mathe-Modus am besten mit `\begingroup` und `\endgroup` durchgeführt. --- Lineare_Algebra.tex | 7 ++++--- 1 file changed, 4 insertions(+), 3 deletions(-) diff --git a/Lineare_Algebra.tex b/Lineare_Algebra.tex index 80f7be2..86af5ca 100644 --- a/Lineare_Algebra.tex +++ b/Lineare_Algebra.tex @@ -30,6 +30,7 @@ \renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt} \renewcommand{\footrulewidth}{0pt} \newcommand{\gq}[1]{\glqq{}#1\grqq{}} % german quotes +\newcommand{\mcolor}[2][red]{\begingroup\color{#1}#2\endgroup } \DeclareMathOperator{\mdim}{dim} \DeclareMathOperator{\mKer}{Ker} \DeclareMathOperator{\mIm}{Im} @@ -2251,12 +2252,12 @@ V\) mit Darstellungen \(v_i = \sum_{i=1}^n{\lambda_{ij}\cdot b_j}\). Sei \(V\) ein \(n\)-dimensionaler Vektorraum. Es gibt eine bis auf ein Vielfaches eindeutige Volumenform \(\omega \neq 0\) auf \(V\). \end{proposition} \begin{proof} - W"ahle eine Basis \(B= (b_1,\dots,b_n) \in V\), definiere \(\omega(v_1,\dots,v_n)\) durch die Leibniz-Formel mit \(\omega(b_1,\dots,b_n):=1\). Dann ist \(\omega\neq 0\) nach Konstruktion. \(\omega\) ist linear in jeder Variable, weil \(\det\Delta \) definiert durch die Leibniz-Formel linear in jeder Zeile der Matrix \(\Delta\) ist. Wir m"ussen noch zeigen, dass es alternierend ist: \[\omega(v_1,\dots,v_{i-1},v_i,v_{i+1},\dots,v_{j-1},v_j,v_{j_1},\dots,v_n) = \det\Delta \cdot\omega(b_1,\dots,b_n) \] Wobei die \(i\)-te und \(j\)-te Zeile von \(\Delta\) "ubereinstimmen. Es gilt: + W"ahle eine Basis \(B= (b_1,\dots,b_n) \in V\), definiere \(\omega(v_1,\dots,v_n)\) durch die Leibniz-Formel mit \(\omega(b_1,\dots,b_n):=1\). Dann ist \(\omega\neq 0\) nach Konstruktion. \(\omega\) ist linear in jeder Variable, weil \(\det\Delta \) definiert durch die Leibniz-Formel linear in jeder Zeile der Matrix \(\Delta\) ist. Wir m"ussen noch zeigen, dass es alternierend ist: \[\omega(v_1,\dots,v_{i-1},v_i,v_{i+1},\dots,v_{j-1},v_j,v_{j_1},\dots,v_n) = \det\Delta \cdot\omega(b_1,\dots,b_n) \] Wobei die \(i\)-te und \(j\)-te Zeile von \(\Delta\) "ubereinstimmen (es gilt also \(\lambda_{i,x}=\lambda_{j,x}\)). Es gilt: \begin{align*} \det\Delta &= \sum_{\sigma\in S_n}\varepsilon(\sigma)\lambda_{1,\sigma(1)}\dots\lambda_{n,\sigma(n)} \\ &= \sum_{\sigma = \sigma'\circ\tau_{ij}\in S_n}\varepsilon(\sigma)\lambda_{1,\sigma(1)}\dots\lambda_{i,\sigma(i)}\dots\lambda_{j,\sigma(j)}\dots\lambda_{n,\sigma(n)} \\ - &= \sum_{\sigma\in S_n}\varepsilon(\sigma'\circ\tau_{ij})\cdot\lambda_{1,\sigma'(1)}\dots\overbrace{\lambda_{i,\sigma'(j)}}^{=\lambda_{i,\sigma(i)}}\dots\overbrace{\lambda_{j,\sigma'(i)}}^{=\lambda_{j,\sigma(i)}}\dots \lambda_{n,\sigma'(n)} \\ - &= - \sum_{\sigma'\in S_n} \epsilon(\sigma') \lambda_{1,\sigma'(1)}\dots(-\lambda_{j,\sigma'(j)})\dots\lambda_{i,\sigma'(i)}\dots\lambda_{n,\sigma'(n)} = -\det A \\ + &= \sum_{\sigma\in S_n}\varepsilon(\sigma'\circ\tau_{ij})\cdot\lambda_{1,\sigma'(1)}\dots\overbrace{\lambda_{i,\sigma'(j)}}^{=\lambda_{i,\sigma(i)}}\dots\overbrace{\lambda_{j,\sigma'(i)}}^{=\lambda_{j,\sigma(j)}}\dots \lambda_{n,\sigma'(n)} \\ + &= \mcolor{-} \sum_{\sigma'\in S_n} \mcolor{\varepsilon(\sigma')} \lambda_{1,\sigma'(1)}\dots\lambda_{i,\sigma'(i)}\dots\lambda_{j,\sigma'(j)}\dots\lambda_{n,\sigma'(n)} = -\det A \\ &\implies \det A = 0 \end{align*} \(\implies\omega \) alternierend. From c35d0d0311a9a46482f35401ecaae0da275dd0dc Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: sammecs Date: Wed, 13 Dec 2017 14:34:50 +0100 Subject: [PATCH 6/6] =?UTF-8?q?Erg=C3=A4nze=20bis=20Endomorphismen=20und?= =?UTF-8?q?=20Eigenvektoren?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- Lineare_Algebra.tex | 77 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 77 insertions(+) diff --git a/Lineare_Algebra.tex b/Lineare_Algebra.tex index 86af5ca..10b693c 100644 --- a/Lineare_Algebra.tex +++ b/Lineare_Algebra.tex @@ -2263,6 +2263,83 @@ V\) mit Darstellungen \(v_i = \sum_{i=1}^n{\lambda_{ij}\cdot b_j}\). \(\implies\omega \) alternierend. \end{proof} +\(\omega\) ist eindeutig durch den Wert (=1) auf \(B\) bestimmt \(\implies\) wenn \(\omega'\) eine Volumenform auf \(V\) ist, so gilt \(\omega' = \underbrace{\omega'(b_1,\dots,b_n)}_{\in K}\cdot\omega\) + +\begin{definition}{Determinante} + Sei \(V\) ein \(n\)-dimensionaler Vektorraum, \(f: V\to V\) linear. Die Determinante von \(f\) ist + \[\det(f):= \frac{\omega(f(b_1),\dots,f(b_n)}{\omega(b_1,\dots,b_n)}\] + wobei \(\omega \neq 0\) eine Volumenform auf \(V\) ist. +\end{definition} + +\begin{beobachtung} + Die obige Proposition zeigt, dass \(\det(f)\) wohldefiniert ist (= auf die Wahl von \(\omega\neq 0\) nicht ankommt). Geometrisch: \(\det(f)\) ist der Verzerrungsfaktor von dem Volumen (unter \(f\)). +\end{beobachtung} + +\begin{lemma} + \(\det\Delta = \det\Delta^T\quad\forall \Delta\in K^{n\times n}\) +\end{lemma} +\begin{proof} + Es gilt: \(\varepsilon(\sigma) = \varepsilon(\sigma^{-1})\quad\forall \sigma\in S_n \) (folgt z.B. aus \(\varepsilon(\sigma\circ\sigma^{-1})=1=\varepsilon(\sigma)\varepsilon(\sigma^{-1})\)) + \begin{align*} + \det\Delta^T = \sum_{\sigma\in S_n}\varepsilon(\sigma)\lambda_{\sigma(1),1}\dots\lambda_{\sigma(n),n} = \sum_{\sigma^{-1}\in S_n}\varepsilon(\sigma^{-1})\lambda_{1,\sigma^{-1}(1)}\dots\lambda_{n,\sigma^{-1}(n)} = \det \Delta + \end{align*} +\end{proof} +\begin{proposition} + \begin{enumerate} + \item \(f, g: V\to V \) linear \(\implies\det(g\circ f) = \det(g)\det(f) \) + \item \(f\) ist genau dann invertierbar, wenn \(\det(f)\neq 0 \) + \end{enumerate} +\end{proposition} +\begin{korollar} + Sei \(B\) eine Basis in \(V\), \(f:V\to V \) linear. Dann gilt: \(\det(f) = \det M^B_B(f) \) +\end{korollar} +\begin{proof} + \begin{align*} + \det(f) = \frac{\omega(f(b_1),\dots,f(b_n)}{\omega(b_1,\dots,b_n)} \stackrel{Def. Abb. + Leibniz}{=} \det M^B_B(f)^T \stackrel{Lemma}{=} \det M_B^B(f) + \end{align*} +\end{proof} +\begin{korollar} + Eine Matrix \(A\in K^{n\times n} \) ist genau dann invertierbar, wenn \(\det A \neq 0 \) +\end{korollar} +\begin{bem} + Es gibt eine Reihe von Begriffen f"ur Matrizen, die nach unseren Invertierbarkeitskriterien alle "aquivalent dazu sind, dass \(A \) invertierbar ist, z.B. nicht ausgeartet, regul"ar etc. +\end{bem} +\begin{korollar} +Wie berechnet man Determinanten? + +Die Leibniz-Foreml ist zu ineffizient (sie hat \(n!\) Summanden). Die Berechnungen macht man normalerweise unter Benutzung folgender Eigenschaften der Determinante (die daraus folgen, dass \(\det : (K^n)^n \to K\) eine Volumenform ist): +\begin{itemize} + \item Wenn man zu einer Zeile / Spalte der Matrix ein Vielfaches einer anderen Zeile bzw. Spalte addiert, so "andert sich die Determinante nicht; + \item \(\det \) ist linear in jeder Zeile bzw. Spalte. +\end{itemize} +\end{korollar} +\begin{bem} + F"ur \(\varepsilon(\sigma)\), das Vorzeichen einer Permutation, gibt's auch die Physiker-Notation: \(\varepsilon_{1,\dots,n}=1\) und es ver"andert das Vorzeichen, wenn man zwei Indizes vertauscht. +\end{bem} +\begin{bem}[Orientierung von Vektorr"aumen] + Volumenformen sind laut unserer Definition linear \(\implies\) selbst wenn \(V\) ein \(\mathbb{R}\)-Vektorraum ist, kann es passieren, dass \(\omega(v_1,\dots,v_n)< 0\). Die Wahl von einer Volumenform \(\omega\) definiert die sogenannte \emph{Orientierung} von \(V\) (\(V\) ein \(mathbb{R}\)-VR). Wenn wir \(\omega\) fixieren, dann entstehen zwei Klassen von Basen in \(V\): \(B = (b_1,\dots,b_n)\) hei"st positiv (negativ) orientiert, wenn \(\omega(b_1,\dots,b_n) > (<) 0\). + + In diesem Sinne ist \(\omega(v_1,\dots,v_n)\) das \emph{orientierte} Volumen von dem Quader aufgespannt durch \(v_1,\dots,v_n\): wenn \(v_1,\dots,v_n\) positiv orientiert sind, ist \(\omega(v_1,\dots,v_n) = \) \(+\)Volumen, andernfalls \(-\)Volumen. +\end{bem} + +\subsubsection{Eigenvektoren, Eigenwerte, Diagonalisierbarkeit} + +Wir haben gesehen: wenn \(f: V\to W\) linear, \(V, W\) endlichdimensionale Vektorr"aume \(\implies \exists B\subset V, C\subset W \) Basen so dass +\[M^B_C(f) = \begin{pmatrix} +1_r & 0\\ +0 & 0 +\end{pmatrix}, r = \mRg f\] +\begin{definition} + Ein Endomorphismus von \(V\) ist eine lineare Abbildung \(f: V\to V\). Bezeichnung: \(f\in \text{End}_K(V) = \text{Hom}_K(V,V) \) + + Endomorphismus hei"sen auch lineare Operatoren auf \(V\). Die Wahl einer Basis \(B\subset V \) gibt uns eine Matrix \(M^B_B(f)\). +\end{definition} +\begin{korollar}[Hauptfrage] + Wenn \(f\) gegeben ist, wie findet man eine Basis \(B\), so dass \(M^B_B(f)\) eine besonders einfache Form hat? + + "Aquivalent, in Termen von Matrizen: Gegeben eine Matrix \(A\in K^{n\times n} \), finde eine invertierbare Matrix \(S\) so dass \(S^{-1}AS\) besonders einfache Form hat. +\end{korollar} + \subsection{Schlagworte:} \label{sec:orgcf8c685} \begin{itemize}