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53
Lineare_Algebra.tex
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@ -62,18 +62,15 @@ halign = center,
\usepackage{amssymb} \usepackage{amssymb}
\usepackage{gauss} \usepackage{gauss}
\usepackage{stmaryrd} \usepackage{stmaryrd}
\theoremstyle{remark}
\newtheorem{exa}{Beispiel}[section] \newtheorem{exa}{Beispiel}[section]
\newtheorem{expe}{experiment}[section] \newtheorem{expe}{experiment}[section]
\theoremstyle{definition} \renewcommand*{\proofname}{Beweis}
\newtheorem{prof}{Beweis} \newtheorem{beobachtung}{Beobachtung}
\newtheorem*{notte}{Beachte} \newtheorem*{notte}{Beachte}
\newtheorem*{notation}{Notation} \newtheorem*{notation}{Notation}
\newtheorem*{proposition}{Proposition} \newtheorem*{proposition}{Proposition}
\newtheorem*{lemma}{Lemma} \newtheorem*{lemma}{Lemma}
\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{korollar}{Korollar} \newtheorem*{korollar}{Korollar}
\newtheorem*{beobachtung}{Beobachtung}
\newtheorem*{bem}{Bemerkung} \newtheorem*{bem}{Bemerkung}
\author{Valentin Boettcher} \author{Valentin Boettcher}
\date{\today} \date{\today}
@ -1718,9 +1715,9 @@ Sei \(f:V\to W\) eine Lineare Abbildung, sei \(V\) endlich dimensional. Dann gil
\begin{lemma} sei \(f\) wie oben. Sei \(U \subseteq \mKer(f)\) ein Untervektorraum mit \(U \cap \mKer(f) = \{0\}\). Dann ist \(f|_U:U\to f(U)\) ein Isomorphismus. \begin{lemma} sei \(f\) wie oben. Sei \(U \subseteq \mKer(f)\) ein Untervektorraum mit \(U \cap \mKer(f) = \{0\}\). Dann ist \(f|_U:U\to f(U)\) ein Isomorphismus.
\end{lemma} \end{lemma}
\begin{prof}[Beweis des Lemmas] \label{} \begin{proof}[Beweis des Lemmas] \label{}
\(f|_U:U\to f(U)\) ist surjektiv nach Konstruktion. Zu zeigen: \(f|_U\) injkektiv \(\iff \mKer f|_U = \{0\}\). Sei \(u\in \mKer f|_U \). Dann gilt \(u\in U \land u \in \mKer(f) \implies u \in U \cap \mKer f \implies u = 0\) \(f|_U:U\to f(U)\) ist surjektiv nach Konstruktion. Zu zeigen: \(f|_U\) injkektiv \(\iff \mKer f|_U = \{0\}\). Sei \(u\in \mKer f|_U \). Dann gilt \(u\in U \land u \in \mKer(f) \implies u \in U \cap \mKer f \implies u = 0\)
\end{prof} \end{proof}
\begin{proof}[Beweis der Dimensionsformel] \label{} \begin{proof}[Beweis der Dimensionsformel] \label{}
W"ahle eine Basis \({e_1, ..., e_k}\) in \(\mKer f\) und erg"anze sie zu einer Basis W"ahle eine Basis \({e_1, ..., e_k}\) in \(\mKer f\) und erg"anze sie zu einer Basis
@ -1792,7 +1789,7 @@ Sind \(U_1, U_2 \subset V\) Untervektorr"aume, dann gilt: \(\dim(U_1 +U_2) =\dim
\begin{bem} \begin{bem}
\(U_1\cap U_2\) ist stets ein Untervektorraum, wenn \(U_1\) und \(U_2\) Untervektorr"aume sind. \(U_1\cap U_2\) ist stets ein Untervektorraum, wenn \(U_1\) und \(U_2\) Untervektorr"aume sind.
\end{bem} \end{bem}
\begin{prof}[Dimensionsformel] \begin{proof}[Dimensionsformel]
Betrachte die Abbildung \(f: U_1 \times U_2 \to U_1 + U_2, (u_1, u_2) \mapsto u_1 + u_2 \). Hierbei ist \(U_1\times U_2 = \{(u_1, u_2) | u_1 \in U_1, u_2 \in U_2 \} \) der Verktorraum der Paare \((u_1, u_2)\) mit Betrachte die Abbildung \(f: U_1 \times U_2 \to U_1 + U_2, (u_1, u_2) \mapsto u_1 + u_2 \). Hierbei ist \(U_1\times U_2 = \{(u_1, u_2) | u_1 \in U_1, u_2 \in U_2 \} \) der Verktorraum der Paare \((u_1, u_2)\) mit
elementweisen Operationen: elementweisen Operationen:
@ -1815,7 +1812,7 @@ Ferner gilt: \(\mIm(f) = U_1 + U_2\) per Definition. Nun ist:
&\implies \dim\mKer (f) = \dim(U_1 \cap U_2)\\ &\implies \dim\mKer (f) = \dim(U_1 \cap U_2)\\
&\implies \underbrace{\dim(U_1 \cap U_2)}_{\dim\mKer(f)} + \underbrace{\dim(U_1 + U_2)}_{\dim\mIm(f)} = \underbrace{\dim(U_1) + \dim(U_2)}_{\dim (U_1\times U_2)} &\implies \underbrace{\dim(U_1 \cap U_2)}_{\dim\mKer(f)} + \underbrace{\dim(U_1 + U_2)}_{\dim\mIm(f)} = \underbrace{\dim(U_1) + \dim(U_2)}_{\dim (U_1\times U_2)}
\end{align*}\qed \end{align*}\qed
\end{prof} \end{proof}
Was hat diese ganze Theorie mit Matrizen zu tun? Intuitiv: Abbildungen sind Was hat diese ganze Theorie mit Matrizen zu tun? Intuitiv: Abbildungen sind
\gq{geometrisch} und Matrizen sind Koordinatenformen dieser geometrischen \gq{geometrisch} und Matrizen sind Koordinatenformen dieser geometrischen
@ -1834,14 +1831,14 @@ Seien \(V,W\) zwei (\(\mathbb{K}\)-) Vektorr"aume. Dann nennen wir
\begin{proposition} \begin{proposition}
\(\mHom_\mathbb{K}(V,W)\) ist auch ein Vektorraum. \(\mHom_\mathbb{K}(V,W)\) ist auch ein Vektorraum.
\end{proposition} \end{proposition}
\begin{prof} \begin{proof}
Wenn \(f_1, f_2 \in \mHom_\mathbb{K}(V,W)\): Wenn \(f_1, f_2 \in \mHom_\mathbb{K}(V,W)\):
\begin{align*} \begin{align*}
(f_1 + f_2)(v) &= f_1(v) + f_2(v) \quad\text{ist linear} \\ (f_1 + f_2)(v) &= f_1(v) + f_2(v) \quad\text{ist linear} \\
(\lambda f_1)(v) &= \lambda\cdot f_1(v)\quad\text{ist auch linear} (\lambda f_1)(v) &= \lambda\cdot f_1(v)\quad\text{ist auch linear}
\end{align*} \end{align*}
\qed \qed
\end{prof} \end{proof}
Seien \(V, W\) endlichdimensional, \(B = \{b_1, \dots, b_n\}\) Basis in \(V\), \(C = \{c_1, \dots, c_m\}\) Basis in \(W\). Sei \(f \in \mHom_\mathbb{K}(V,W)\). Die Abbildungsmatrix \(F= M_C^B(f)\) in \(f\) bzgl. \(B\) und \(C\) ist definiert als Seien \(V, W\) endlichdimensional, \(B = \{b_1, \dots, b_n\}\) Basis in \(V\), \(C = \{c_1, \dots, c_m\}\) Basis in \(W\). Sei \(f \in \mHom_\mathbb{K}(V,W)\). Die Abbildungsmatrix \(F= M_C^B(f)\) in \(f\) bzgl. \(B\) und \(C\) ist definiert als
Matrix, deren Spalten die Koordinatenspalten von \(f(b_1),\dots, f(b_n)\) bzgl. der Basis \(C\) sind: Matrix, deren Spalten die Koordinatenspalten von \(f(b_1),\dots, f(b_n)\) bzgl. der Basis \(C\) sind:
@ -1866,7 +1863,7 @@ M_B^B(f) = \begin{pmatrix}
Vektorra"umen. Vektorra"umen.
\end{proposition} \end{proposition}
\begin{prof} \begin{proof}
Aus Definition von \(M_C^B(f)\) folgt sofort: Aus Definition von \(M_C^B(f)\) folgt sofort:
\begin{align*} \begin{align*}
M^B_C(f_1 + f_2) &= M_C^B(f_1) + M_C^B(f_2)\\ M^B_C(f_1 + f_2) &= M_C^B(f_1) + M_C^B(f_2)\\
@ -1886,7 +1883,7 @@ f\left(\sum_{j=1}^n\lambda_jb_j\right) = \sum_{j=1}^n\lambda_j\cdot\left(\sum_{i
\begin{align*} \begin{align*}
f(b_j) = \sum_{i=1}^mF_{ij}c_i \implies M^B_C(f) = F f(b_j) = \sum_{i=1}^mF_{ij}c_i \implies M^B_C(f) = F
\end{align*}\qed \end{align*}\qed
\end{prof} \end{proof}
Im Beweis haben wir unter anderem festgestellt: Im Beweis haben wir unter anderem festgestellt:
\begin{relation} \begin{relation}
@ -1984,11 +1981,11 @@ Sei .. eine Lineare Abbildung, ..., dann gilt:
F"ur jede Matrix ... gibt es invertierbare Matrizen ... , so dass F"ur jede Matrix ... gibt es invertierbare Matrizen ... , so dass
\end{korollar} \end{korollar}
\begin{prof} \begin{proof}
Sei ... w"ahle eine Basis ... im $\text{Ker}(f)$ und erweitere sie zu einer Sei ... w"ahle eine Basis ... im $\text{Ker}(f)$ und erweitere sie zu einer
Basis ... in Basis. Setze: ... Beim Beweis der Dimensionsformal haben wir Basis ... in Basis. Setze: ... Beim Beweis der Dimensionsformal haben wir
gesehen ... . Erweitere jetzt ... zu einer Basis ... in $W$. Es gilt. gesehen ... . Erweitere jetzt ... zu einer Basis ... in $W$. Es gilt.
\end{prof} \end{proof}
\subsubsection{Konsequenzen f"ur Matrizen} \subsubsection{Konsequenzen f"ur Matrizen}
\label{sec:konsma} \label{sec:konsma}
@ -2021,15 +2018,15 @@ Das stimmt denn: dieses Verfahren l"ost gleichzeitig die LGS ...
Seien $X,Y,Z$ Mengen, ... Dann gilt: Seien $X,Y,Z$ Mengen, ... Dann gilt:
\end{lemma} \end{lemma}
\begin{prof}[Beweisschema] \begin{proof}[Beweisschema]
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item (0) $ \iff $ (1) \item (0) $ \iff $ (1)
\item (1) $ \iff $ (2): $B:=A^{-1}$ \item (1) $ \iff $ (2): $B:=A^{-1}$
\item (1) $ \iff $ (3): $C:=A^{-1}$ \item (1) $ \iff $ (3): $C:=A^{-1}$
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{prof} \end{proof}
\begin{prof}[des Satzes] \begin{proof}[des Satzes]
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item[(0) $\implies$ (1)] $A=M^{\epsilon}_{\epsilon}(f_A)$, woberi $f_A:$ \item[(0) $\implies$ (1)] $A=M^{\epsilon}_{\epsilon}(f_A)$, woberi $f_A:$
\item[(1) $\implies$ (0)] Sei $A$ invertierbar, $A=$ Betrachten wir die \item[(1) $\implies$ (0)] Sei $A$ invertierbar, $A=$ Betrachten wir die
@ -2055,7 +2052,7 @@ Das stimmt denn: dieses Verfahren l"ost gleichzeitig die LGS ...
Wenn wir ... \\ Wenn wir ... \\
Analog Analog
\end{itemize} \end{itemize}
\end{prof} \end{proof}
\subsubsection{Determinanten} \subsubsection{Determinanten}
\label{sec:det} \label{sec:det}
@ -2107,9 +2104,9 @@ $\mathbb{R}^2$ bzw. $\mathbb{R}^3$?
... ...
\end{notte} \end{notte}
\begin{prof}[zur Bemerkung] \begin{proof}[zur Bemerkung]
Wir lassen die Variablen ausser ... fest und rechnen. Wir lassen die Variablen ausser ... fest und rechnen.
\end{prof} \end{proof}
\begin{notte} \begin{notte}
Genau wie bei Volumina von Quadern in $\mathbb{R}^3$ die Wahl einer Genau wie bei Volumina von Quadern in $\mathbb{R}^3$ die Wahl einer
@ -2121,7 +2118,7 @@ $\mathbb{R}^2$ bzw. $\mathbb{R}^3$?
eine Basis in $V$. Der Wert .... .. eine Basis in $V$. Der Wert .... ..
\end{lemma} \end{lemma}
\begin{prof}[des Lemmas] \begin{proof}[des Lemmas]
Stelle $v_i=\sum{\lambda_{ij}b_j}$ dar ($B$ ist ja eine Basis) und benutze Stelle $v_i=\sum{\lambda_{ij}b_j}$ dar ($B$ ist ja eine Basis) und benutze
Linearit"at von $\omega$. Linearit"at von $\omega$.
\begin{align*} \begin{align*}
@ -2130,7 +2127,7 @@ $\mathbb{R}^2$ bzw. $\mathbb{R}^3$?
Es ueberleben nur Terme, wo $b_{j1},...,b_{ji}$ in anderer Reihenfolge sind Es ueberleben nur Terme, wo $b_{j1},...,b_{ji}$ in anderer Reihenfolge sind
$\implies$ dann ist ... $\implies$ ... Summe von Termen der Form $\implies$ dann ist ... $\implies$ ... Summe von Termen der Form
\end{prof} \end{proof}
\begin{proposition} \begin{proposition}
Sei ... eine Volumenform auf V. Dann gilt: Sei ... eine Volumenform auf V. Dann gilt:
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
@ -2139,19 +2136,19 @@ $\mathbb{R}^2$ bzw. $\mathbb{R}^3$?
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{proposition} \end{proposition}
\begin{prof} \begin{proof}
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item Linearit"at: \item Linearit"at:
\item Sind ... linear abh"angig, dann ist ein $V_J=\sum$ \item Sind ... linear abh"angig, dann ist ein $V_J=\sum$
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{prof} \end{proof}
Wir wollen die Abh"angigkeit aus dem lemma explizit aufschreiben Wir wollen die Abh"angigkeit aus dem lemma explizit aufschreiben
\subsubsection{Permutationen} \subsubsection{Permutationen}
\label{sec:perm} \label{sec:perm}
\begin{definition}[Permutation] \begin{definition}
Sei $X$ eine Menge. Eine bijektion $\sigma: X \mapsto X$ heisst Permutation Sei $X$ eine Menge. Eine bijektion $\sigma: X \mapsto X$ heisst Permutation
von X. von X.
\end{definition} \end{definition}
@ -2199,9 +2196,9 @@ Wir wollen die Abh"angigkeit aus dem lemma explizit aufschreiben
\begin{notte}[Interpretation f"ur $\epsilon (\sigma)$] \begin{notte}[Interpretation f"ur $\epsilon (\sigma)$]
$d$ .. Anzahl der ''Reihenfolgeverst"osse'' in $\sigma$ $d$ .. Anzahl der ''Reihenfolgeverst"osse'' in $\sigma$
\end{notte} \end{notte}
\begin{prof} \begin{proof}
... ...
\end{prof} \end{proof}
\begin{definition} \begin{definition}
Die Permutationen ... heissen gerade ... ungerade. Die Permutationen ... heissen gerade ... ungerade.