From 3658b4a13951fa2bbd87479534b1389de814fb56 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Valentin Boettcher Date: Wed, 28 Mar 2018 15:27:57 +0200 Subject: [PATCH] bastelei --- Lineare_Algebra.tex | 74 +++++++++++++++++++++++++++------------------ 1 file changed, 45 insertions(+), 29 deletions(-) diff --git a/Lineare_Algebra.tex b/Lineare_Algebra.tex index 99871ed..82f715e 100644 --- a/Lineare_Algebra.tex +++ b/Lineare_Algebra.tex @@ -27,6 +27,7 @@ \usepackage{xifthen} \usepackage{xargs} \usepackage{commath} % differential stuff +\usepackage{enumitem} \newcommand{\gq}[1]{\glqq{}#1\grqq{}} % german quotes \newcommand{\mcolor}[2][red]{\begingroup\color{#1}#2\endgroup } \DeclareMathOperator{\mdim}{dim} @@ -53,6 +54,8 @@ \usepackage[most]{tcolorbox} \usepackage{booktabs} \tcbuselibrary{theorems} +\newlist{theolist}{itemize}{3} +\setlist[theolist,1]{label=\textbullet,leftmargin=1in} \newtcbtheorem[number within=section,list inside=definition]{definition}{Definition}% {code={\boldmath},colback=green!5,colframe=green!35!black,fonttitle=\bfseries}{th} \newtcbtheorem[number within=section. list inside=definition]{axiom}{Axiom}% @@ -972,7 +975,7 @@ Wir beobachten: ''Tabellen'' von Koeffizienten umformen. \end{relation} -\begin{definition}{}{} +\begin{definition}{Matrix}{} Eine \(M\times N\) Matrix \(A\) ist eine Tabelle der Gr"osse \(m\times n\), gef"ullt mit Elementen aus \(K\). \[A=(a_{ij})_{\substack{i=1,\cdots,m \\ j=1,\cdots,n}}\] @@ -2191,17 +2194,17 @@ in den neuen koordinaten $\lambda'=S^{-1}\cdot\lambda$ \begin{satz}{Kriterien f"ur Invertierbarkeit}{} Folgende Kriterien sind "Aquivalent: - \begin{enumerate} - \item Wenn $A=\mmat(f)$, dann ist $f$ ein Isomorphismus + \begin{enumerate}[start=0] + \item Wenn $A=\mmat(f)$, dann ist $f$ ein Isomorphismus. \item $A$ ist invertierbar. - \item $A^T$ ist Invertierbar + \item[$\mathnormal{1^T}$.] $A^T$ ist Invertierbar \item $\exists B\in \kkk[n][n]$ mit $A\cdot B = 1_n$ ($A$ Ist ''Rechtsinvertierbar'') \item $\exists C\in \kkk[n][n]$ mit $C\cdot A = 1_n$ ($A$ Ist ''Linksinvertierbar'') - \item $\mRg(A) = n\, A$ hat vollen Rang + \item $\mRg(A) = n$ - $A$ hat vollen Rang \item $\mKer A = \{0\}$ \item $\mIm A = \kk$ \item Das LGS $A\cdot x = 0$ hat nur die triviale L"osung $x=0$. - \item Das LGS $A\cdot x = n$ hat f"ur jedes $b\in $ genau eine L"osung. + \item Das LGS $A\cdot x = n$ hat f"ur jedes $b\in \kk$ genau eine L"osung. \item A ist darstellbar als das Produkt von Elementarmatrizen: $A=T_1 \cdots T_i$ \end{enumerate} \vspace{\baselineskip} @@ -2217,32 +2220,45 @@ Aus dem Satz ergibt sich folgendes Verfahren zur Berechnung von $A^{-1}$: \end{enumerate} \end{relation} -\begin{lemma}[Injektivit"at und Surjektivit"at bei Verkn"upfungen] - Seien $X,Y,Z$ Mengen, ... Dann gilt: -\end{lemma} - -\begin{prof}[Beweisschema] +\begin{lemma}[Injektivit"at und Surjektivit"at bei Verkn"upfungen]\label{surcomp} + Seien $X,Y,Z$ Mengen, $\lmap[f][X][Y],\, \lmap[g][Y][Z]$ Dann gilt: \begin{enumerate} - \item (0) $ \iff $ (1) - \item (1) $ \iff $ (2): $B:=A^{-1}$ - \item (1) $ \iff $ (3): $C:=A^{-1}$ + \item $g\circ f$ surjektiv $\implies$ $g$ surjektiv + \item $g\circ f$ injektiv $\implies$ $f$ injektiv \end{enumerate} +\end{lemma} +\begin{prof}[des Lemmas]\hfill + \begin{enumerate} + \item $g \text{ nicht surjektiv }\implies$ $\exists z \in Z \text{ mit } z\not= g(y)\; \forall y\in Y \allowbreak \implies z \not=g(f(x)) \;\forall x \in X$\\$\implies g \circ f \text{ nicht surjektiv}$ + \item $f \text{ nich injektiv }\implies \exists x \not=x' mit f(x)=f(x') \implies (g\circ f)(x)=(g\circ f)(x') \implies g\circ f \text{ nicht injektiv}$ + \end{enumerate} \end{prof} -\begin{prof}{des Satzes}\leavevmode - \begin{trivlist} - \item[(0) $\implies$ (1)] $A=M^{\varepsilon}_{\varepsilon}(f_A)$, woberi $f_A:$ - \item[(1) $\implies$ (0)] Sei $A$ invertierbar, $A=$ Betrachten wir die - Abbildung $g$ mit ..., es gilt: - \item[(1) $\iff$ ($1^T$)] ... - \item[(4) $ \iff $ (5) $ \iff $ (6)] nach dem Lemma - \item[(7) $ \iff $ (5)] - \item[(8) $ \iff $ ((5) $ \iff $ (6))] - \item[(2) $ \implies $ (6)] Wenn $A\cdot B=1_n$, dann muss nach dem Lemmma die - Abbildung $x\mapsto A\cdot x$ surjektiv sein $\implies$ (6) - \item[(3) $ \implies $ (5)] $C\cdot A = 1_n$ - \item[(9) $ \implies $ (1)] Elementarmatrizen sind invertierbar, und wenn... - \item[(7) $ \implies $ (9)] L"osen wir das LGS $A\cdot x = 0$ durch +\begin{prof}[des Satzes] + \hfill + + \begin{theolist} + \item[0 $\implies$ 1] $A=M^{\varepsilon}_{\varepsilon}(f_A)$, wobei $\lmap[f_A][\kk][\kk],\, x \mapsto A\cdot x$ und $\varepsilon = (\lldot{e})$\\ + $(0)$ sagt, dass $f_A$ ein isomorphismus ist, wir haben also ein $f_A^{-1}$. Es gilt: + \begin{itemize} + \item $\mmat[\varepsilon][\varepsilon](f_A^{-1})\cdot\mmat[\varepsilon][\varepsilon](f_A) = \mmat[\varepsilon][\varepsilon](id_{\kk})=1_n$ + \item $\mmat[\varepsilon][\varepsilon](f_A)\cdot\mmat[\varepsilon][\varepsilon](f_A^{-1}) = \mmat[\varepsilon][\varepsilon](id_{\kk})=1_n$ + \end{itemize} + \item[1 $\implies$ 0] Sei $A$ invertierbar. $A=\mmat(f)$\\ Betrachten wir die + Abbildung $g$ mit $\mmat[C][B](g)=A^{-1}$, es gilt: + \\ $\mmat[B][B](g\circ f) = \mmat[C][B](g) \circ \mmat(f) = A \cdot A^{-1} = 1_n$ damit $g \circ f = \mId$, analog $f\circ g = \mId$. Nach Lemma \ref{surcomp} ist $f$ also ein Isomorphismus (Injektiv und Surjektiv). + \item[1 $\iff$ $1^T$] ... + \item[1 $\implies$ 2] $B:=A^{-1}$ + \item[1 $\implies$ 3] $C:=A^{-1}$ + \item[4 $ \iff $ 5 $ \iff $ 6] nach dem Lemma und $(1)$ + \item[7 $ \iff $ 5] $\{x\mid A\cdot x = 0\} = \mKer (A)$ + \item[8 $ \iff $ (5 $ \iff $ 6)] $\{x\mid A\cdot x = b\} = \mKer (A) = \underbrace{f_A^{-1}(b)}_{\text{Urbild}}$ also existiert eine L"osung genau dann, wenn $\mIm(f_A)=\mIm(A) = \kk$ ($b$ beliebig).\\ +Andererseits ist die L"osung genau danneindeutig eindeutig, wenn $f_A$ injektiv ist. D.h. Existenz in $(8) \iff (6)$, Eindeutigkeit in $(8)\iff (5)$ + \item[2 $ \implies $ 6] Wenn $A\cdot B=1_n$, dann muss nach dem Lemmma die + Abbildung $x\mapsto A\cdot x$ surjektiv sein $\implies$ 6 + \item[3 $ \implies $ 5] $C\cdot A = 1_n$ + \item[9 $ \implies $ 1] Elementarmatrizen sind invertierbar, und wenn... + \item[7 $ \implies $ 9] L"osen wir das LGS $A\cdot x = 0$ durch Zeilenumformungen (Gauss-Jordan): also machen wir Zeilenumformungen. Wir haben keine freien Variablen, denn wir haben nur eine L"osung $\implies$ $A$ wird zur $1_n$ durch Zeilenumformungen transformiert. Wenn wir den @@ -2254,7 +2270,7 @@ Aus dem Satz ergibt sich folgendes Verfahren zur Berechnung von $A^{-1}$: Nun wenn $A\cdot B = 1_n$ wie in (2) $\implies$, \\ Wenn wir ... \\ Analog - \end{trivlist} + \end{theolist} \end{prof} \chapter{Determinanten}