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102
Lineare_Algebra.tex
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@ -3025,8 +3025,8 @@ Es gilt also: wenn $V=U \bigoplus U^\perp$
\end{prof} \end{prof}
\begin{relation} \begin{relation}
$\epsilon=(e_1,\ldots, e_n) \subset V$ ist eine Orthogonalbasis $\iff $\mathcal{E}=(e_1,\ldots, e_n) \subset V$ ist eine Orthogonalbasis $\iff
M_\epsilon(b)= M_\mathcal{E}(b)=
\begin{pmatrix} \begin{pmatrix}
b_{11} b_{11}
\end{pmatrix} \end{pmatrix}
@ -3085,7 +3085,7 @@ Geometrische Interpreatation:
\begin{relation} \begin{relation}
Diagonalformen f"ur $b$ entsprechen der Tatsache, dass $q$ in Koordinaten derr Diagonalformen f"ur $b$ entsprechen der Tatsache, dass $q$ in Koordinaten derr
Basis $\epsilon'$ eine Summe von Quadraten ist. Basis $\mathcal{E}'$ eine Summe von Quadraten ist.
Wir haben bereits gesehen, dass bei Basiswechsel die Matrix der Bilinearform Wir haben bereits gesehen, dass bei Basiswechsel die Matrix der Bilinearform
so transformiert: so transformiert:
@ -3121,7 +3121,7 @@ Geometrische Interpreatation:
\begin{satz}{Bestimmung von $r_+, r_-$ durch Definiertheit} \begin{satz}{Bestimmung von $r_+, r_-$ durch Definiertheit}
Sei $V$ ein $\mathbb{R}$ Vektorraum, $b: V\times V \rightarrow \mathbb{R}$. Sei $V$ ein $\mathbb{R}$ Vektorraum, $b: V\times V \rightarrow \mathbb{R}$.
Sei $\epsilon$ eine Basis mit ... Sei $\mathcal{E}$ eine Basis mit ...
Dan gilt: Dan gilt:
\begin{align*} \begin{align*}
@ -3172,41 +3172,35 @@ Geometrische Interpreatation:
\end{exa} \end{exa}
\section{Euklidische Vektorr"aume} \chapter{Euklidische Vektorr"aume}
\label{sec:evr} \label{sec:evr}
Sei $V$ ein $\mathbb{R}$ Vektorraum. Das Paar $(V, <\cdot,\cdot>)$ heisst \begin{definition}{Euklidischer Vektorraum}{}
euklidischer Vektorraum, wenn $<\cdot,\cdot>: V\times V \rightarrow \mathbb{R}$ Sei $V$ ein $\mathbb{R}$ Vektorraum. Das Paar $(V, \langle\cdot,\cdot\rangle)$ heisst
eine positiv definierte Bilinearform ist. $<\cdot, \cdot>$ heisst Skalarprodukt. euklidischer Vektorraum, wenn $\langle\cdot,\rangle: V\times V \rightarrow \mathbb{R}$
eine positiv definierte Bilinearform ist. $\langle\cdot,\rangle$ heisst Skalarprodukt.
Skalarprodukt liefert die geometrische Struktur auf $V$, die uns erlaubt, von
L"angen der Vektoren und Winkeln zwischen Vektoren zu reden.
Skalarprodukt liefert die geometrische Struktur auf $V$, die uns erlaubt, von
L"angen der Vektoren und Winkeln zwischen Vektoren zu reden.
\end{definition}
\begin{definition}{Orthogonalit"at}{} \begin{definition}{Orthogonalit"at}{}
$x,y\in V$ heissen \textbf{orthogonal}, wenn $<x,y>=0$ $x,y\in V$ heissen \textbf{orthogonal}, wenn $\langle x,y\rangle=0$
\end{definition} \end{definition}
\begin{definition}{Euklidischer Vektorraum}{}
Sei $V$ ein $\mathbb{R}$ Vektorraum. Das Paar $(V, <\cdot,\cdot>)$ heisst
euklidischer Vektorraum, wenn $<\cdot,\cdot>: V\times V \rightarrow \mathbb{R}$
eine positiv definierte Bilinearform ist. $<\cdot, \cdot>$ heisst Skalarprodukt.
Skalarprodukt liefert die geometrische Struktur auf $V$, die uns erlaubt, von
L"angen der Vektoren und Winkeln zwischen Vektoren zu reden.
\end{definition}
\begin{exa} \begin{exa}
\(\mathbb{R}^n\) mit \(\langle x, y\rangle_{st} = \sum_{i=1}^nx_iy_i\) ist ein euklidischer VR. \(\mathbb{R}^n\) mit \(\langle x, y\rangle_{st} = \sum_{i=1}^nx_iy_i\) ist ein euklidischer VR.
\end{exa} \end{exa}
\begin{definition}{Orthogonalit"at}{} \begin{definition}{Orthogonalit"at}{}
$x,y\in V$ heissen \textbf{orthogonal}, wenn $<x,y>=0$ $x,y\in V$ heissen \textbf{orthogonal}, wenn $\langle x,y \rangle=0$
\end{definition} \end{definition}
\begin{satz}{Cauchy Schwarz} \begin{satz}{Cauchy Schwarz}{}
\[|\langle {x,y} \rangle|\leq ||x||\cdot ||y||\] \[\langle x,y \rangle\leq ||x||\cdot ||y||\]
\end{satz} \end{satz}
@ -3221,7 +3215,7 @@ L"angen der Vektoren und Winkeln zwischen Vektoren zu reden.
\begin{definition}{Winkel}{} \begin{definition}{Winkel}{}
Sei $(V, \langle {\cdot,\cdot} \rangle)$ ein eukl. VR. Der \textbf{Winkel} Sei $(V, \langle {\cdot,\cdot} \rangle)$ ein eukl. VR. Der \textbf{Winkel}
$\Theta_{v,w}$ zwischen zwei Winkeln $v,w\in V$ wird gegeben durch die Gleichung: \[\cos $\Theta_{v,w}$ zwischen zwei Winkeln $v,w\in V$ wird gegeben durch die Gleichung: \[\cos
\Theta_{v,w} = \frac{\langle{v,w}}{||v||\cdot ||w||\] \Theta_{v,w} = \frac{\langle{v,w}}{||v||\cdot ||w||}\]
\end{definition} \end{definition}
\begin{definition}{Gram Matrix}{} \begin{definition}{Gram Matrix}{}
@ -3244,7 +3238,7 @@ L"angen der Vektoren und Winkeln zwischen Vektoren zu reden.
\begin{definition}{Orthonormalbasis}{} \begin{definition}{Orthonormalbasis}{}
Eine Basis $\Epsilon = \{e_1, \ldots, e_n\} \subset V$ heisst Eine Basis $\mathcal{E} = \{e_1, \ldots, e_n\} \subset V$ heisst
\textbf{Orthonomalbasis}, wenn $G(e_1, \ldots, e_n) = 1_n$ ist. ($\iff \langle \textbf{Orthonomalbasis}, wenn $G(e_1, \ldots, e_n) = 1_n$ ist. ($\iff \langle
{e_i, e_jede} \rangle = \delta_{ij} \forall i,j = \overline{1,n}$) {e_i, e_jede} \rangle = \delta_{ij} \forall i,j = \overline{1,n}$)
\end{definition} \end{definition}
@ -3255,7 +3249,7 @@ L"angen der Vektoren und Winkeln zwischen Vektoren zu reden.
\begin{relation} \begin{relation}
Sei $\xi$ eine Orthonormalbasis (=ONB), $B$ eine weitere Basis von $V$. Sei Sei $\xi$ eine Orthonormalbasis (=ONB), $B$ eine weitere Basis von $V$. Sei
$S=M^B_\Epsilon$ die Basiswechselmatrix von $\Epsilon$ zu $B$. Nach $S=M^B_\mathcal{E}$ die Basiswechselmatrix von $\mathcal{E}$ zu $B$. Nach
Transformationsregel f"ur Matrizen von Bilinearformen gilt: Transformationsregel f"ur Matrizen von Bilinearformen gilt:
\begin{align*} \begin{align*}
G(B) = S^T\cdot 1_n \cdot S = S^T\cdot S\\ G(B) = S^T\cdot 1_n \cdot S = S^T\cdot S\\
@ -3333,7 +3327,7 @@ liefert.
\subsection{Lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen mit Skalarprodukt } \section{Lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen mit Skalarprodukt }
\label{sec:vsk} \label{sec:vsk}
\textbf{Fragen}: \textbf{Fragen}:
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
@ -3343,7 +3337,7 @@ liefert.
\begin{notte} \begin{notte}
Sei $(V, \langle {\cdot, \cdot} \rangle)$ ein eukl./unit. Vektorraum. Sei Sei $(V, \langle {\cdot, \cdot} \rangle)$ ein eukl./unit. Vektorraum. Sei
$\Epsilon=(e_1,...,e_n)$ eine Orthonormalbasis in $V$, $f: V\mapsto V $ $\mathcal{E}=(e_1,...,e_n)$ eine Orthonormalbasis in $V$, $f: V\mapsto V $
linear. Dann gilt ... linear. Dann gilt ...
Insbesondere gilt: eine Beliebige Matrix $A\in K^{m\times n}$ ist die Matrix Insbesondere gilt: eine Beliebige Matrix $A\in K^{m\times n}$ ist die Matrix
@ -3359,7 +3353,7 @@ liefert.
\end{lemma} \end{lemma}
\begin{exa} \begin{exa}
Wenn $V=(K^n, \langle {\cdotm \cdot} \rangle _{st})$ $f$ ist gegeben durch Wenn $V=(K^n, \langle {\cdot, \cdot} \rangle _{st})$ $f$ ist gegeben durch
eine Matrix $A$, und die definierende Eigenschaft der adjungierten Abbildung eine Matrix $A$, und die definierende Eigenschaft der adjungierten Abbildung
$A'$: $A'$:
\[ \lambda*\cdot A \cdot \mu = (A'\cdot \lambda)^*\cdot\] \[ \lambda*\cdot A \cdot \mu = (A'\cdot \lambda)^*\cdot\]
@ -3375,12 +3369,12 @@ liefert.
\end{prof} \end{prof}
\begin{notte} \begin{notte}
WEnn $\Espilon=(e_1, ..., e_n)$ eine Orthonoermalbasis in V ... WEnn $\mathcal{E}=(e_1, ..., e_n)$ eine Orthonoermalbasis in V ...
\end{notte} \end{notte}
\begin{definition} \begin{definition}
Sei $(V, \langle {\cdot, \cdot} \rangle)$ ein eukl./unit. Vektorraum. Sei Sei $(V, \langle {\cdot, \cdot} \rangle)$ ein eukl./unit. Vektorraum. Sei
$\Epsilon=(e_1,...,e_n)$ eine Orthonormalbasis in $V$, $f: V\mapsto V $ $\mathcal{E}=(e_1,...,e_n)$ eine Orthonormalbasis in $V$, $f: V\mapsto V $
linear. linear.
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item selbstadjungiert, wenn $f^*=f$ \item selbstadjungiert, wenn $f^*=f$
@ -3398,16 +3392,14 @@ liefert.
\begin{prof} \begin{prof}
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item[\implies]
\item[\impliedb]
\end{itemize} \end{itemize}
\end{prof} \end{prof}
\begin{notation} \begin{notation}
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item $O(V)=\{f\in\End (V) \mid f\text{ Orthogonal}\}$ ($V$ eukl) \item $O(V)=\{f\in\mEnd (V) \mid f\text{ Orthogonal}\}$ ($V$ eukl)
\item $O(n):= O(\mathbb{R}^n, \langle{\cdot, \cdot} = \{A\in \item $O(n):= O(\mathbb{R}^n, \langle{\cdot, \cdot} = \{A\in
\mathbb{R}^{n\times n} \mid A \text{ Orthogonal}\})$ \mathbb{R}^{n\times n} \mid A \text{ Orthogonal}\})$
\item $U(V)=\{f\in\End (V) \mid f\text{ Unit"ar}\}$ ($V$ unit"ar) \item $U(V)=\{f\in\mEnd (V) \mid f\text{ Unit"ar}\}$ ($V$ unit"ar)
\item $U(n):= O(\mathbb{C}^n, \langle{\cdot, \cdot} = \{A\in \item $U(n):= O(\mathbb{C}^n, \langle{\cdot, \cdot} = \{A\in
\mathbb{C}^{n\times n} \mid A \text{ Orthogonal}\})$ \mathbb{C}^{n\times n} \mid A \text{ Orthogonal}\})$
\item $S O(n) = {A\in O(u) \mid \det A = 1}$ - spez. Orth. Gruppe \item $S O(n) = {A\in O(u) \mid \det A = 1}$ - spez. Orth. Gruppe
@ -3416,7 +3408,7 @@ liefert.
\end{itemize} \end{itemize}
Alle Mengen in dieser Liste sind Teilmengen von bijektiven Abbildungen von Alle Mengen in dieser Liste sind Teilmengen von bijektiven Abbildungen von
$V\rightarrow V$, s.d. $f,g\in G \implies g\cir f \in G; f\in G \implies $V\rightarrow V$, s.d. $f,g\in G \implies g\circ f \in G; f\in G \implies
f^{-1}\in G$. Solche Teilmengen $G$ heissen Transformationsgruppen. f^{-1}\in G$. Solche Teilmengen $G$ heissen Transformationsgruppen.
\end{notation} \end{notation}
@ -3435,7 +3427,7 @@ liefert.
\item wenn $U\subseteq V$ ein UVR ist, $p_U: V\rightarrow U$ die Orthogonale \item wenn $U\subseteq V$ ein UVR ist, $p_U: V\rightarrow U$ die Orthogonale
Projektion auf $U$ dann gilt: $p_U=p_U^2 p_u^*= p_U$ Projektion auf $U$ dann gilt: $p_U=p_U^2 p_u^*= p_U$
\item $p\in \End (V)$ eine Orthogonale Projektion $\implies p = p_U $ wobei \item $p\in \mEnd (V)$ eine Orthogonale Projektion $\implies p = p_U $ wobei
$U=\Im p$ $U=\Im p$
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{proposition} \end{proposition}
@ -3447,16 +3439,16 @@ liefert.
\subsection{Spektralsatz f"ur normale Operatoren} \subsection{Spektralsatz f"ur normale Operatoren}
\label{sec:spekt} \label{sec:spekt}
Erinnerung: $f\in \End(V)$ ehisst normal, wenn $f^*\cdot f = f\cdot f^*$ Erinnerung: $f\in \mEnd (V)$ ehisst normal, wenn $f^*\cdot f = f\cdot f^*$
\begin{definition}{Spektrum}{} \begin{definition}{Spektrum}{}
Das Spektrum um $f\in \End(V)$ ist die Menge $\sigma (f) = \{\lambda \mid Das Spektrum um $f\in \mEnd (V)$ ist die Menge $\sigma (f) = \{\lambda \mid
\lambda \text{ Eigenwert von } f\}$ \lambda \text{ Eigenwert von } f\}$
\end{definition} \end{definition}
\begin{satz}{Spektralsatz f"ur normale Operatoren} \begin{satz}{Spektralsatz f"ur normale Operatoren}
Sei $V$ ein unit"arer Vektorraum Sei $V$ ein unit"arer Vektorraum
. Ein Operator $f\in \End(V)$ ist genau dann normal, wenn eine . Ein Operator $f\in \mEnd (V)$ ist genau dann normal, wenn eine
Orthonormalbasis aus Eigenwerten von $f$ existiert (d.h., f ist Orthonormalbasis aus Eigenwerten von $f$ existiert (d.h., f ist
diagonalisierbar in einer Orthonormalbasis). diagonalisierbar in einer Orthonormalbasis).
\end{satz} \end{satz}
@ -3466,7 +3458,7 @@ Erinnerung: $f\in \End(V)$ ehisst normal, wenn $f^*\cdot f = f\cdot f^*$
diagonalisierbar sind. (Sog. in OMB) diagonalisierbar sind. (Sog. in OMB)
\end{notte} \end{notte}
\begin{lemma} \begin{lemma}
Sei $V$ ein unit"arer Vektorraum $u\subseteq V$ UVR, $f\in \End(V)$ normal. Es Sei $V$ ein unit"arer Vektorraum $u\subseteq V$ UVR, $f\in \mEnd (V)$ normal. Es
gilt: $U$ Eigenraum (ist damit $f$ invariant $(f(U)\subseteq U) $) $\implies $ dann ist $U^\perp$ gilt: $U$ Eigenraum (ist damit $f$ invariant $(f(U)\subseteq U) $) $\implies $ dann ist $U^\perp$
$f$ invariant: $f$ invariant:
$U^\perp\subseteq U$ $U^\perp\subseteq U$
@ -3477,12 +3469,12 @@ Erinnerung: $f\in \End(V)$ ehisst normal, wenn $f^*\cdot f = f\cdot f^*$
und die Eigenwerte sind reell. (Wenn unt"ar, Eigenwerte auf Einheitskreis) und die Eigenwerte sind reell. (Wenn unt"ar, Eigenwerte auf Einheitskreis)
\end{korollar} \end{korollar}
\begin{relation} \begin{relation}
Sei $f\in \End(V)$ normal, $\Epsilon$ eine Orthonormalbasis aus Eigenwerten, Sei $f\in \mEnd (V)$ normal, $\mathcal{E}$ eine Orthonormalbasis aus Eigenwerten,
$\phi: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ beliebig. Definiere $(\phi(f))(v)=\phi(\lambda)*v$ $\phi: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ beliebig. Definiere $(\phi(f))(v)=\phi(\lambda)*v$
\end{relation} \end{relation}
\begin{proposition} \begin{proposition}
Sei $V$ ein eukl./unit. VR. $f\in \End(v) \implies f^* f, ff^*$ Sei $V$ ein eukl./unit. VR. $f\in \mEnd (V) \implies f^* f, ff^*$
selbstadjungierte Operatoren auf $V$ mit nochtnegativen Eigenwerten. Wenn $f$ selbstadjungierte Operatoren auf $V$ mit nochtnegativen Eigenwerten. Wenn $f$
invertierbar ist, sind die Eigenwerte positiv. invertierbar ist, sind die Eigenwerte positiv.
\end{proposition} \end{proposition}
@ -3494,7 +3486,7 @@ Erinnerung: $f\in \End(V)$ ehisst normal, wenn $f^*\cdot f = f\cdot f^*$
\end{prof} \end{prof}
\begin{definition}{Operatornorm}{} \begin{definition}{Operatornorm}{}
Sei $f\in \End(V)$: $|f|:= \sqrt{f^*\circ f}$. Sei $f\in \mEnd (V)$: $|f|:= \sqrt{f^*\circ f}$.
\end{definition} \end{definition}
\begin{relation} \begin{relation}
Wenn $f$ invertierbar ist $\implies f^*$ invertierbar $\implies f^* f$ Wenn $f$ invertierbar ist $\implies f^*$ invertierbar $\implies f^* f$
@ -3511,11 +3503,11 @@ Erinnerung: $f\in \End(V)$ ehisst normal, wenn $f^*\cdot f = f\cdot f^*$
Orthogonale Abbildungen sind (anders als unit"are!) nicht immer Diagonalisierbar. Orthogonale Abbildungen sind (anders als unit"are!) nicht immer Diagonalisierbar.
\end{relation} \end{relation}
\begin{satz}{Spektralsatz / $\mathbb{R}$} \begin{satz}{Spektralsatz / $\mathbb{R}$}
Sei $V$ ein eukl. VR, $f=f^* \in \End{V}$ slebstadjungiert. Dann existiert Sei $V$ ein eukl. VR, $f=f^* \in \mEnd (V)$ slebstadjungiert. Dann existiert
eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von $f$. eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von $f$.
\end{satz} \end{satz}
\begin{prof} \begin{prof}
Sei $V_{\mathbb{C}}=V \plusdot iV$ die Komplexifizierung von $V$, Sei $V_{\mathbb{C}}=V \oplus iV$ die Komplexifizierung von $V$,
$f_{\mathbb{C}}: V_{\mathbb{C}} \rightarrow V_{\mathbb{C}}$ die $f_{\mathbb{C}}: V_{\mathbb{C}} \rightarrow V_{\mathbb{C}}$ die
Komplezifizierung von $f$. Definiere auf $V_{\mathbb{C}}$ das Skalarpordukt Komplezifizierung von $f$. Definiere auf $V_{\mathbb{C}}$ das Skalarpordukt
$\langle {v_1+ iv_2, w_1+ iw_2} \rangle := \langle {v_1, w_1} \rangle + i $\langle {v_1+ iv_2, w_1+ iw_2} \rangle := \langle {v_1, w_1} \rangle + i
@ -3531,12 +3523,12 @@ Erinnerung: $f\in \End(V)$ ehisst normal, wenn $f^*\cdot f = f\cdot f^*$
\end{notte} \end{notte}
\subsection{Drehungen des $\mathbb{R}^3 = SO(3)$} \section{Drehungen des $\mathbb{R}^3 = SO(3)$}
Errinerung: $SO(3) = \{A\in \mathbb{R}^{3\times r}\mid A^T \cdot A = 1_3, \det A Errinerung: $SO(3) = \{A\in \mathbb{R}^{3\times r}\mid A^T \cdot A = 1_3, \det A
= 1\}$ = 1\}$
\begin{proposition} \begin{proposition}
$SO(3)$ sind gerade drehungen von $(\mathbb{R}^3, \scalars)$. $SO(3)$ sind gerade drehungen von $(\mathbb{R}^3, \langle\cdot , \cdot \rangle)$.
\end{proposition} \end{proposition}
Probleme: Probleme:
@ -3555,10 +3547,10 @@ Ausweg: Quarternione
\item $ki=j=-ik$ \item $ki=j=-ik$
\end{itemize} \end{itemize}
\end{definition} \end{definition}
\begin{definition}{Skalarpordukt auf $\mathbb{H}$} \begin{definition}{Skalarpordukt auf $\mathbb{H}$}{}
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item Konjugation $h=t+xi+yj+zk \implies \bar{h}=t-xi-yj-zk$ \item Konjugation $h=t+xi+yj+zk \implies \bar{h}=t-xi-yj-zk$
\item $\langle {h, h\} := \Re (h, \bar{h'})$ \item $\langle {h, h} \rangle := \Re (h, \bar{h'})$
\end{itemize} \end{itemize}
\end{definition} \end{definition}
@ -3569,7 +3561,7 @@ Ziel: Drehungen im $\mathbb{R}^3$ durch Quarternione darstellen.
\in \mathbb{H}, = 0 \text{ wenn } h=0}$ \in \mathbb{H}, = 0 \text{ wenn } h=0}$
\end{notte} \end{notte}
\begin{definition} \begin{definition}{Quarternion Konjugation}{}
$||h||^2 = h\cdot \bar{h}$ $||h||^2 = h\cdot \bar{h}$
\end{definition} \end{definition}
@ -3609,9 +3601,9 @@ Wir betrachten nun $Sp(1)=\{h\in \mathbb{H} \mid ||h|| = 1\}$
\item $\phi_q$ ist surj. $\forall R\in So(3) \exists q\in Sp(1): \phi_q = R$ \item $\phi_q$ ist surj. $\forall R\in So(3) \exists q\in Sp(1): \phi_q = R$
$n$ ist rot. Achse von $R$, $\varphi$ der Winkel der Rotation. $n$ ist rot. Achse von $R$, $\varphi$ der Winkel der Rotation.
Sei $\Epsilon = (h, e_1, e_2)$ eine Basis in $\mathbb{R}^3$ s.d. Sei $\mathcal{E} = (h, e_1, e_2)$ eine Basis in $\mathbb{R}^3$ s.d.
Sei $q=\cos \frac{\varPhi}{2} + \sin \frac{\varPhi}{2}\cdot n$ Da $\Epsilon$ Sei $q=\cos \frac{\varPhi}{2} + \sin \frac{\varPhi}{2}\cdot n$ Da $\mathcal{E}$
ONB gilt: ... Wenn $\Epsilon$ pos. orientierte ONB in $\mathbb{R}^3$ ist es ONB gilt: ... Wenn $\mathcal{E}$ pos. orientierte ONB in $\mathbb{R}^3$ ist es
auch eine Standartbasis in $\mathbb{H}$ auch eine Standartbasis in $\mathbb{H}$
\end{enumerate} \end{enumerate}