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Ergänze bis Gram-Matrix, entferne überflüssige \label{}s
This commit is contained in:
Julius Leon Quasebarth
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beddd97d9c
commit
1d898d91d5
1 changed files with 144 additions and 157 deletions
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@ -449,7 +449,7 @@ F"ur die Negation der Quantoren gilt:
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\end{itemize}
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\end{relation}
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\begin{exa} \label{} \
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\begin{exa} \
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\(f: X\to Y\) ist surjektiv \(\iff \forall y\in Y \exists x\in X : f(x)=y\).\\
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Also: \(f: X\to Y\) ist \textbf{nicht} surjektiv \(\iff \exists y\in Y \forall x\in X : f(x)\not=y\).
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\end{exa}
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@ -595,7 +595,7 @@ von den Primzahlen \(p_1, ..., p_n\) gibt Rest \(1\).
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Wir werden die Aussage: wenn \(q\) eine gerade Primzahl ist \(\implies q=2\)
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beweisen.
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\begin{prof}[Direkter Beweis] \label{} \
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\begin{prof}[Direkter Beweis] \
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\begin{enumerate}
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\item \(q\) ist gerade \(\implies q\) ist durch \(2\) Teilbar f"ur \(k\in\mathbb{N}\)
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\item \(q\) ist aber eine Primzahl \(\implies\) einer der Faktoren in \(2\cdot k\) ist
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@ -604,7 +604,7 @@ gerade \(1\), \(2\not= 1\)
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\end{enumerate}
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\end{prof}
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\begin{prof}[Kontraposition] \label{} \
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\begin{prof}[Kontraposition] \
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Wir m"ussen zeigen: \(q\not= 2\implies\) (\(q\) ungerade) \(\vee\) (\(q\) keine
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Primzahl). Es reicht zu zeigen: (\(q\not=2)\wedge(q\) ist eine Primzahl)
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\(\implies q\) ist ungerade!
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@ -614,7 +614,7 @@ Primzahl). Es reicht zu zeigen: (\(q\not=2)\wedge(q\) ist eine Primzahl)
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\end{enumerate}
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\end{prof}
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\begin{prof}[Widerspruchsbeweis] \label{} \
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\begin{prof}[Widerspruchsbeweis] \
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Annahme: \(q\) ist gerade, \(q\) ist eine Primzahl, \(q\not= 2\). Wir wollen einen
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Widerspruch herleiten.
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@ -656,7 +656,7 @@ Die komplexen Zahlen \(\mathbb{C}\) sind die Menge der Paare \((a,b)\in
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Multiplikation \((a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd, bc+ad)\).
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\end{definition}
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\begin{notation}[] \label{} \
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\begin{notation}[] \
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\begin{itemize}
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\item Statt \((a,b)\) schreibt man auch \((a+bi)\in \mathbb{C}\).
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\item \(i:=(0,1)=0+1\cdot i\):
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@ -676,7 +676,7 @@ gelten (\emph{K"orperaxiome}): F"ur \(z_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C}\) gilt, z.B.:
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\end{itemize}
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\end{relation}
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||||
\begin{notte}[] \label{}
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\begin{notte}[]
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||||
\((\mathbb{R},+,\cdot)\subsetneq (\mathbb{C},+,\cdot)\) auf nat"urliche Weise als
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der der Form \(a+0\cdot i = (a,0)\), \(a\in \mathbb{R}\).
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\end{notte}
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@ -704,7 +704,7 @@ F"ur \(z\in \mathbb{C}\) heisst die Zahl \(\overline{z}:=a-bi\) die komplex
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konjugierte Zahl zu \(a+bi\).
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\end{definition}
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\begin{exa} \label{}
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\begin{exa}
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||||
\(\overline{1+i}=1-i\)
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\end{exa}
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@ -723,7 +723,7 @@ konjugierte Zahl zu \(a+bi\).
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Das Inverse einer Komplexen Zahl ist gegeben durch: \(\forall z\not= 0\; \exists z^{-1} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}\) mit \(z \cdot z^{-1}=1\)
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\end{definition}
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||||
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||||
\begin{exa} \label{} \
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||||
\begin{exa} \
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||||
\((1+i)^{-1}=\frac{1-i}{2}\)
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||||
\end{exa}
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||||
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||||
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@ -750,12 +750,12 @@ Es folgt:
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\(a=|z|\cdot \cos(\varphi)\) und \(b=|z|\cdot \sin(\varphi)\)
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\end{relation}
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||||
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||||
\begin{notte}[] \label{}
|
||||
\begin{notte}[]
|
||||
\(\varphi\) ist nicht eindeutig bestimmt, sondern bis auf Addition von eines
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||||
vielfachen von \(2\pi\).
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||||
\end{notte}
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||||
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||||
\begin{exa} \label{}
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||||
\begin{exa}
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||||
\(\varphi=\frac{\pi}{4}\) und \(\varphi=-\frac{7\pi}{4}\) sind im geometrischen Bild von
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||||
\(\mathbb{C}\) "aquivalent.
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||||
\end{exa}
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@ -771,11 +771,11 @@ Das Argument von \(z\) ist die Menge von allen \(\varphi \in R\) mit
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|||
\]
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||||
\end{definition}
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||||
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||||
\begin{notte}[] \label{}
|
||||
\begin{notte}[]
|
||||
\(\operatorname{arg}z= {\operatorname{arg}z +2\pi k\; \forall k\in \mathbb{Z}}\)
|
||||
\end{notte}
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||||
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||||
\begin{exa} \label{} \
|
||||
\begin{exa} \
|
||||
Seien \(z_1=|z_1|\cdot \cos(\varphi_1)+i\cdot \sin(\varphi_1)\), \(z_2=|z_2|\cdot
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||||
\cos(\varphi_2)+i\cdot \sin(\varphi_2)\) zwei komplexe Zahlen.\\
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||||
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||||
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@ -804,7 +804,7 @@ also der Rotation gegen den Urzeigersinn um \(\varphi\).
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||||
\section{Exponentialform der komplexen Zahlen}
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||||
\label{sec:orgb4d9f14}
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||||
\begin{notation}[] \label{} \
|
||||
\begin{notation}[] \
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Exponentialform: \(\cos(\varphi)+i\cdot \sin(\varphi):=e^{i\cdot \varphi}\)
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||||
\item es gilt \(e^{i(\varphi_k)},\; k\in\mathbb{R}\) sind die Zahlen auf dem Einheitskreis
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||||
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@ -822,7 +822,7 @@ Mit dieser Notation folgt:
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|||
\varphi}=\cos(n\cdot\varphi)+i\cdot\sin(n\cdot\varphi)\) f"ur alle \(n\in\mathbb{N}\)
|
||||
\end{relation}
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||||
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||||
\begin{exa} \label{}\
|
||||
\begin{exa} \
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||||
\begin{align*}
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||||
(\cos(\varphi)+i\cdot \sin(\varphi))^2 & = \cos^2(\varphi)-\sin^2(\varphi)+2\cdot i\cdot\sin(\varphi)\cdot\cos(\varphi) \\
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||||
& = \cos(2\varphi) + 2\cdot i \cdot\sin(2\varphi) \\
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||||
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@ -852,13 +852,13 @@ und dann reduzieren wir den allgemeinen Fall darauf.
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|||
Eine Zahl \(z\in \mathbb{C}\) heisst \(n\text{-te}\) Einheitswurzel, wenn \(z^n=1\).
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||||
\end{definition}
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||||
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||||
\begin{proposition}[] \label{}
|
||||
\begin{proposition}[]
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||||
F"ur jedes \(n\geq, n\in\mathbb{N}\) existieren genau \(n\)
|
||||
Einheitswurzeln in \(\mathbb{C}\). Sie sind durch die Formel
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||||
\(z_k=e^{\frac{2\pi\cdot k\cdot i}{n}} \text{ mit } k=0,1,...,n-1\) gegeben.
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||||
\end{proposition}
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||||
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||||
\begin{prof}[] \label{} \
|
||||
\begin{prof}[] \
|
||||
\(z_k\) sind \(n\text{-te}\) Einheitswurzeln denn:
|
||||
\begin{align*}
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||||
z_k^n & = (e^{\frac{2\cdot\pi\cdot k}{n}})^n \\
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||||
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@ -967,7 +967,7 @@ mit Elementen aus \(K\).
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|||
\[A=(a_{ij})_{\substack{i=1,\cdots,m \\ j=1,\cdots,n}}\]
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||||
\end{definition}
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||||
|
||||
\begin{exa} \label{}
|
||||
\begin{exa}
|
||||
\[
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||||
A=\left( \begin{matrix} 1& 1\\ 2& -3\end{matrix} \right)
|
||||
\]
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||||
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@ -1028,7 +1028,7 @@ Folge.
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|||
\end{enumerate}
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||||
\end{definition}
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||||
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||||
\begin{exa} \label{} \
|
||||
\begin{exa} \
|
||||
\[
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||||
\begin{pmatrix}
|
||||
0 & a_{12} & a_{13} \\
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||||
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@ -1183,7 +1183,7 @@ mit \(A\cdot B \in K^{p\times n}\)
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|||
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||||
\section{Eigenschaften der Matrix-Multiplikation}
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||||
\label{sec:org8eaaee0}
|
||||
\begin{notation}[] \label{}
|
||||
\begin{notation}[]
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item wenn \(\alpha_1,...,\alpha_n\in K\) dann notieren wir \(\alpha_1+...+\alpha_n :=
|
||||
\sum_{i=1}^{n}{\alpha_i}\)
|
||||
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@ -1203,7 +1203,7 @@ Matrixmultiplikation ist \emph{linear}: \(A\cdot (\lambda B_1 + \lambda_2 A B_2)
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|||
Analog:
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\end{relation}
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||||
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||||
\begin{prof}[] \label{}
|
||||
\begin{prof}[]
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||||
Sei \(C=A\cdot (\lambda_1 B_1 + \lambda_2 B_2)\)
|
||||
\end{prof}
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||||
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||||
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@ -1211,7 +1211,7 @@ Sei \(C=A\cdot (\lambda_1 B_1 + \lambda_2 B_2)\)
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|||
Die Matrixmultiplikation ist assoziativ: \(A\cdot (B\cdot C)=(A\cdot B)\cdot C\)
|
||||
\end{relation}
|
||||
|
||||
\begin{prof}[] \label{}
|
||||
\begin{prof}[]
|
||||
|
||||
\end{prof}
|
||||
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||||
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@ -1235,22 +1235,22 @@ F"ir alle \(A\in K^{p\times m}\) gilt:
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|||
\end{itemize}
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||||
\end{theo}
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||||
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||||
\begin{prof}[] \label{}
|
||||
\begin{prof}[]
|
||||
|
||||
\end{prof}
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||||
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||||
\begin{notation}[] \label{Vorsicht!}
|
||||
\begin{notation}[]
|
||||
Die Matrix Multiplikation ist nicht Konjunktiv: \(A\cdot B\not= B\cdot A\) im
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||||
Allgemeinen, selbst wenn beide Produkte definiert sind und die gleiche Gr"osse
|
||||
haben.
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||||
\end{notation}
|
||||
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||||
\begin{exa} \label{}
|
||||
\begin{exa}
|
||||
|
||||
\end{exa}
|
||||
|
||||
\begin{notation}[] \label{}
|
||||
\begin{notation}[]
|
||||
Die \(i\text{te}\) Spalten der Einheitsmatrix wird durch \(e_i=()\) bezeichnet.
|
||||
\end{notation}
|
||||
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||||
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@ -1291,7 +1291,7 @@ t \}\) fuer ein \(r\geq 0, \phi\)
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|||
0\) (es gibt mindestens eine freie Variable).
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||||
\end{bem}
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||||
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||||
\begin{exa} \label{}
|
||||
\begin{exa}
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||||
Finde ein reelles Polynom von Grad 2.
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||||
Die Frage ist aequivalent zu dem LGS:
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@ -1324,7 +1324,7 @@ folgenden Eigenschaften:
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|||
\end{itemize}
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||||
\end{definition}
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\begin{exa} \label{}
|
||||
\begin{exa}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item \(K\) ist selbst ein Vektorraum mit \(+\) und \(\cdot\)
|
||||
\item \(K^{n}:=K^{n\times 1}\) ist ein K-Vektorraum mit:
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||||
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@ -1351,7 +1351,7 @@ L"osungen auch ein Vekorraum bzgl. der Operatoren aus \(K^n\)
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|||
\end{enumerate}
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||||
\end{exa}
|
||||
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||||
\begin{notte}[] \label{}
|
||||
\begin{notte}[]
|
||||
Bei der Entwicklung der Vektorraumtheorie ist es oft n"utzlich, an das Beispiel
|
||||
\(V=K^n\) zu denken.
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||||
\end{notte}
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@ -1375,14 +1375,14 @@ Die Menge der Vektoren heist linear Unabh"angig wenn: \$\$ (Nur die Triviale
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|||
linearkombination ergibt 0). Andernfalls heist die Menge linear abh"angig.
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||||
\end{definition}
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||||
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||||
\begin{exa} \label{}
|
||||
\begin{exa}
|
||||
\(\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\)
|
||||
\end{exa}
|
||||
|
||||
\begin{exa} \label{}
|
||||
\begin{exa}
|
||||
\(\{v_1,v_2\}\) sind linear abhaengig wenn sie Proportional sind.
|
||||
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||||
\begin{prof}[] \label{}
|
||||
\begin{prof}[]
|
||||
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||||
\end{prof}
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||||
\end{exa}
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||||
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@ -1390,7 +1390,7 @@ linearkombination ergibt 0). Andernfalls heist die Menge linear abh"angig.
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|||
\begin{lemma}
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||||
Die Menge ist linear abh"angig. \(v_i\) ist eine Linearkombination von \$\$
|
||||
\end{lemma}
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||||
\begin{prof}[] \label{}
|
||||
\begin{prof}[]
|
||||
Wenn \(v_i=\lambda_1 v_1\), dann \(0=\) Denn \(-1\) ist ein nicht-trivialer
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Linearfaktor.
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@ -1398,7 +1398,7 @@ Linearfaktor.
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|||
\(\exists i : \lambda_i \not= 0\) Also gilt folglich
|
||||
\end{prof}
|
||||
|
||||
\begin{notte}[] \label{}
|
||||
\begin{notte}[]
|
||||
Eine L"osung des LGS \(Ax=b\) ist eine Spalte \$\$ mit
|
||||
Deis heisst, das LGS \(Ax=b\) zu l"osen ist genau linearkombinationen von spalten
|
||||
zu finden, welche \(b\) ergeben.
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||||
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@ -1409,7 +1409,7 @@ zu finden, welche \(b\) ergeben.
|
|||
eine Linearkombination von \(v_1,...,v_n\) wenn linear abh"angig ist.
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||||
\end{lemma}
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||||
|
||||
\begin{prof}[] \label{}
|
||||
\begin{prof}[]
|
||||
(\(\implies\)) Sei Dann gilt , also ist linear ab"angig.
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||||
Sei .. linear abh"angig Dann
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||||
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||||
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@ -1421,7 +1421,7 @@ Es gilt: \(\lambda \not= 0\) (wenn .. linearunabh"angig.) Also gilt \(v=-\lambd
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|||
Darstellung ist eindeutig ganau dann, wenn linear unabh"angig sind.
|
||||
\end{lemma}
|
||||
|
||||
\begin{prof}[] \label{}
|
||||
\begin{prof}[]
|
||||
\((\implies)\) Sei die Darstellung eindeutig \$v=..\$ Wenn jetzt \$\$, dan gilt \(v=\)
|
||||
Eindeutigkeit der Darstellung ergibt:
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||||
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||||
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@ -1431,7 +1431,7 @@ Spalten von \(A\) linear unabhaenig sind, hat das LGS \(Ax=b\) h"ochstens eine
|
|||
L"osung, folglich hat \(Ax=0\) genau eine L"osung x=0.
|
||||
\end{prof}
|
||||
|
||||
\begin{notte}[zu geometrischer Interpretation] \label{}
|
||||
\begin{notte}[zu geometrischer Interpretation]
|
||||
Wichitige Beispiele von Vektorr"aumen sind: \(V=\mathbb{R}^2\) (Ebene),
|
||||
\(V=\mathbb{R}^3\) (3D-Raum).
|
||||
\end{notte}
|
||||
|
|
@ -1453,7 +1453,7 @@ In drei Dimensionen:
|
|||
\(v_1,...,v_n\) ist. Wenn \(m>n\), dann sind \(w_1,...,w_n\) linear abhaengig.
|
||||
\end{proposition}
|
||||
|
||||
\begin{prof}[] \label{}
|
||||
\begin{prof}[]
|
||||
Seien
|
||||
\begin{align*}
|
||||
w_1= a_{11} v_1 + a_{12} v_2 + ... + a_{nn} v_n \\
|
||||
|
|
@ -1473,7 +1473,7 @@ sind linear unabh"angig.
|
|||
Vektoren in \$\$ sind linear unabh"angig.
|
||||
\end{korollar}
|
||||
|
||||
\begin{prof}[von Korollar] \label{}
|
||||
\begin{prof}[von Korollar]
|
||||
Seien \(e_i\) die Spalten der Einheitsmatrix sind linear unabh"angig.
|
||||
|
||||
Dies zeigt auch, dass jeder Vektor in \(R\) eine Linearkombination von \(e_i\) ist.
|
||||
|
|
@ -1493,7 +1493,7 @@ In anderen Worten: Eine Teilmenge von \(V\) die selbst ein Vektorraum ist bzgl.
|
|||
der von \(V\) vererbten Operationen.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{notte}[] \label{}
|
||||
\begin{notte}[]
|
||||
(1) und (3) \(\implies\) \(0\in U\)
|
||||
\end{notte}
|
||||
|
||||
|
|
@ -1504,12 +1504,12 @@ von \(S\)) \(<S>:=\{\}\) (Menge aller Linearkombinationen von Vektoren in \(S\))
|
|||
Alternative Notation: \(<s>=\text{span S}\).
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{notte}[] \label{}
|
||||
\begin{notte}[]
|
||||
\(<s>\) ist der kleinste Untervektorraum in \(V\), der \(S\) enth"alt.
|
||||
\(<\varnothing >:=\{0\}\)
|
||||
\end{notte}
|
||||
|
||||
\begin{exa} \label{}
|
||||
\begin{exa}
|
||||
Seien \(v_1, v_2 \in \mathbb{R}^3\).
|
||||
\(<v1,v2>\) ist eine Gerade wenn \(v_1,v_2\) linear abh. Ist Ebene wenn \(v_1,v_2\)
|
||||
linear unbh.
|
||||
|
|
@ -1541,7 +1541,7 @@ Jeder endlichedimensionale Vektorraum \(V\) hat eine Basis, Je zwei Basen von \
|
|||
haben gleich viele Elemente.
|
||||
\end{theo}
|
||||
|
||||
\begin{prof}[] \label{}
|
||||
\begin{prof}[]
|
||||
Sei \(S\) ein endliches Erzeugendensyste von \(V\), Wenn \(S\) lin. unabh. ist, ist es
|
||||
eine Basis und wir haben gewonnen. Wenn \(S\) linear abh"angig ist $\implies$
|
||||
(Lemma) einer von den Vektoren in \(S\) ist eine Linearkombination von den
|
||||
|
|
@ -1562,7 +1562,7 @@ Sei \(V\) ein endlichdimensionaler Vektorraum. Die Anzahl der Vektoren in einer
|
|||
(folglich in jeder) Basis von \(V\) heist Dimension von V. \emph{Bezeichung}: \(\dim V\).n
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{exa}[s] \label{}
|
||||
\begin{exa}[s]
|
||||
\(\dim K^{n}=n\) weil \ldots{} eine Basis bilden.
|
||||
\end{exa}
|
||||
|
||||
|
|
@ -1582,7 +1582,7 @@ Eine Teilmenge \(S'\in V\) ist maximal linear unabh., wenn aus \(S\)
|
|||
linear unabh. folgt.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{prof}[1] \label{}
|
||||
\begin{prof}[1]
|
||||
Sei linear unabh.
|
||||
Zwei F"alle: entweder ist \(S\) schon maximal (dann sind wir fertig) oder man kann
|
||||
S erweitern. Wenn wir \(S\) erweitern k"onnen, f"ugen wir neue Vektoren hinzu, bis
|
||||
|
|
@ -1593,7 +1593,7 @@ hoechstens \(\dim V\) viele Vektoren enthalten kann. (Prop. "uber lineare unabh.
|
|||
von vektoren aus linearkombinartionen der Basis.)
|
||||
\end{prof}
|
||||
|
||||
\begin{prof}[2] \label{}
|
||||
\begin{prof}[2]
|
||||
Sei \(S\in V\) maximal linear unabh"angig. Wir habe zu zeigen: \(<S>=V\) (Def. einer
|
||||
Basis). Wenn $\ldots{}$ d.h. aber, aber \(S\cup {v}\) ist linear unabh. (lemma) $\implies$
|
||||
\(S\) dann nicht maximal.
|
||||
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|
@ -1609,18 +1609,16 @@ Wenn \(V=K^n, S\in V\) linear unabh. \(\rightarrow\) man kann zur erweiterung pa
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Spalten der Einheitsmatrix.
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\end{notte}
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\begin{notte}[] \label{}
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\begin{notte}[]
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Man kann bei der obrigen Proposition das Wort "endlichdimensional" fallen
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lassen, aber es braucht ein bisschen mehr Mengenlehre (Auswahlaxiom).x
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\end{notte}
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\begin{theo}{}{}
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Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum und \(U\in V\) ein Untervektorraum. Dann
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gillt: \(\dim U \leq \dim V\). \(\dim U = \dim V \iff U=V\)
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\end{theo}
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\begin{prof}[] \label{}
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\begin{prof}[]
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Sei eine maximale linear unabh. Teilmenge in U. (so eine Teilmenge existiert
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weil V endlich ist.)
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Nach Proposition (2) ist \ldots{} eine Basis in \(U\), also gilt \(\dim U = k\) Erweitere
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@ -1643,11 +1641,7 @@ Die Definition einer Basis garantiert, dass hierdurch eine Bijektion \ldots{} en
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Diese Korrespondenz kommt auf die Wahl der Basis an.
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\end{notte}
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\begin{exa} \label{}
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\end{exa}
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\begin{exa} \label{}
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\begin{exa}
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Sei \(Ax=0\) ein h. LGS
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\end{exa}
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@ -1657,7 +1651,7 @@ Sei \(Ax=0\) ein h. LGS
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Die Spalten von \(\Phi\) bilden eine Basis in L.
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\end{lemma}
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\begin{prof}[] \label{}
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\begin{prof}[]
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Die Spalten von \(\Phi\) sind linear unabhaenig. (sonst abb. nicht injektiv)
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Ferner spannen sie das ganze L auf (Surjektiv).
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@ -1691,15 +1685,15 @@ Seien \(V, W\) zwei K-Vektorr"aume. Eine Abbildung \(f: V\rightarrow W\) heißt
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\end{definition}
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\begin{exa} \label{}
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\begin{exa}
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$f_{A}: K^n\rightarrow K^m, x\mapsto A\cdot x$, für $A \in K^{m\times n}$ ist eine lineare Abbildung.
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\end{exa}
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\begin{exa} \label{}
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\begin{exa}
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\(V=\mathbb{R}[x]_5,\;W=\mathbb{R}[x]_4\). $f: V\rightarrow W, p \mapsto \frac{dp}{dx}$ ist eine lineare Abbildung, die jedem Polynom seine Ableitung zuordnet.
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\end{exa}
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\begin{exa} \label{}
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\begin{exa}
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$V=W=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\}$ die Menge aller reellen, reellwertiger Funktionen. Für eine gegebene Abbildung $g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ ist die Abbildung $mg: V\rightarrow W, f\mapsto g\cdot f, (g\cdot f)(x)=g(x)\cdot f(x)$ linear.
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||||
\end{exa}
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@ -1707,7 +1701,7 @@ $V=W=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\}$ die Menge aller reellen, reellwertig
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|||
Sei $f:V\rightarrow W$eine Lineare Abbildung. Der Kern von \(f\) wird definiert als \[Ker\: f := f^{-1}(0) = \{v\in V|f(v)=0\}\] Der Kern der Abbildung f ist also die Menge aller Elemente in V, die auf das Nullelement von W abgebildet werden.
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||||
\end{definition}
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\begin{exa} \label{}
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\begin{exa}
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$f=f_A: K^n\rightarrow K^m \quad x\mapsto A\cdot x$\\
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||||
$Ker (f_A) = \{x\in K^n|A\cdot x = 0\}$, also die Lösung des homogenen LGS mit der Koeffizientenmatrix A.
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\end{exa}
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@ -1725,7 +1719,7 @@ $Ker (f_A) = \{x\in K^n|A\cdot x = 0\}$, also die Lösung des homogenen LGS mit
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$\Rightarrow$ Das Bild einer linearen Abbildung ist ein Untervektorraum.
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\end{beobachtung}
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\begin{exa} \label{}
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\begin{exa}
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$Im(f_A )=\{b\in K^m \:|\: \exists x \in K^n: A\cdot x=b \}=\{b\in K^m\:|\:LGS Ax=b\; l"osbar\} $
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||||
\end{exa}
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@ -1739,7 +1733,7 @@ $Im(f_A )=\{b\in K^m \:|\: \exists x \in K^n: A\cdot x=b \}=\{b\in K^m\:|\:LGS A
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|||
$\iff$ \(Ker(f)=\{0\}\)
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\end{proposition}
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\begin{prof}[] \label{}
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\begin{prof}[]
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f injektiv $\iff v_1 \neq v_2 \in V: f(v_1)\neq f(v_2) \iff f(v_1)-f(v_2)\neq 0 \iff f(v_1 -v_2)\neq 0 \iff v_1,v_2 \in V, v_1-v_2\neq 0: f(v_1 -v_2)\neq 0 \iff v\neq 0: f(v)\neq 0 \iff Ker(f) = \{0\}$
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||||
\end{prof}
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@ -1749,7 +1743,7 @@ zwischen \(V\) und \(W\). \(V\) und \(W\) heißen isomorph, wenn es einen
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Vektorraumisomorphismus \(f: V\rightarrow W\) gibt.
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\end{definition}
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\begin{exa} \label{}
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\begin{exa}
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Sei \(V\) ein Vektorraum, \(S\subseteq V = \{v_1, v_2, ..., v_n\}\). Die
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Aufspannabbildung $\varphi_S: K^n \rightarrow V$ wird definiert als $\varphi_S(\lambda)=\sum_{i=1}^{n}\lambda_i v_i$
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@ -1780,11 +1774,11 @@ Sei \(f:V\to W\) eine Lineare Abbildung, sei \(V\) endlich dimensional. Dann gil
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\begin{lemma} sei \(f\) wie oben. Sei \(U \subseteq \mKer(f)\) ein Untervektorraum mit \(U \cap \mKer(f) = \{0\}\). Dann ist \(f|_U:U\to f(U)\) ein Isomorphismus.
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||||
\end{lemma}
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\begin{prof}[Beweis des Lemmas] \label{}
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||||
\begin{prof}[Beweis des Lemmas]
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\(f|_U:U\to f(U)\) ist surjektiv nach Konstruktion. Zu zeigen: \(f|_U\) injkektiv \(\iff \mKer f|_U = \{0\}\). Sei \(u\in \mKer f|_U \). Dann gilt \(u\in U \land u \in \mKer(f) \implies u \in U \cap \mKer f \implies u = 0\)
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||||
\end{prof}
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\begin{prof}[Beweis der Dimensionsformel] \label{}
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||||
\begin{prof}[Beweis der Dimensionsformel]
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W"ahle eine Basis \({e_1, ..., e_k}\) in \(\mKer f\) und erg"anze sie zu einer Basis
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||||
\({e_1, ..., e_n}\) in \(V\).
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@ -3092,7 +3086,7 @@ Der Satz "uber die Existenz von Orthogonalbasen ist nicht besonders konstruktiv,
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Sei $F=(f_1, \dots, f_n)\subset V$ eine Basis, sei
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||||
\[A:= M_F(b)=\begin{pmatrix}a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\] Sei $A_k$ die \gq{obere linke} ($k\times k$) -
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||||
Untermatrix von \(A\), also \((A_k)_{ij} = A_{ij}\;\forall i,j=\overline{1,k}\).
|
||||
Sei $\delta_k:= \det A_k$ der Eckminor von $A$. Sei ausserdem $V_K=\langle
|
||||
Sei $\delta_k:= \det A_k$ der Eckminor von $A$. Sei ausserdem $V_k=\langle
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||||
f_1,\ldots, f_k \rangle, V_0:=\{0\}, \delta_0=1$. Daher ist \(A_k = M_{\{f_1,\dots, f_k\}}(b|_{V_k})\).
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||||
\end{relation}
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||||
\begin{comm}
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||||
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@ -3101,7 +3095,7 @@ Der Satz "uber die Existenz von Orthogonalbasen ist nicht besonders konstruktiv,
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\begin{satz}{Gram-Schmidt-Verfahren}{}
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Sei $b$ eine Bilinearform auf $V$, $F\subset V$ eine Basis in V wie oben. Sei
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||||
au"serdem $\delta_k \neq 0\;\forall k=\overline{0,n}$. Dann existiert eine eindeutig
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||||
bestimmte Orthogonalbasis $(e_1,\ldots,e_n)$ in $V$, so dass \(e_k\in (f_k + V_{k-1})\;\forall k =1,\dots, n\), zudem gilt \(q(e_k) = b(e_k, e_k) = \frac{\delta_k}{\delta_{k-1}}\)
|
||||
bestimmte Orthogonalbasis $(e_1,\ldots,e_n)$ in $V$, so dass \(e_k\in (f_k + V_{k-1})\;\forall k =1,\dots, n\) (\(\iff (e_1,\dots,e_k)\) spannen den gleichen Untervektorraum auf wie \((f_1,\dots,f_k)\)), zudem gilt \(q(e_k) = b(e_k, e_k) = \frac{\delta_k}{\delta_{k-1}}\)
|
||||
\end{satz}
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||||
\begin{prof}
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||||
Induktion "uber $n=\dim V$: (IA, $n=1$) $V=\langle f_1 \rangle, \delta_1 = \frac{\delta_1}{\delta_0} = b(f_1, f_1) \neq 0$ (IS) nach Induktionsvoraussetzung gilt die gilt die Aussage f"ur
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||||
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|
@ -3111,7 +3105,7 @@ Der Satz "uber die Existenz von Orthogonalbasen ist nicht besonders konstruktiv,
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|||
&= b(f_n, e_j) + \lambda_j\underbrace{b(e_j, e_j)}_{\neq 0} \\
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||||
\lambda_j &= -\frac{b(f_n, e_j)}{b(e_j, e_j)}
|
||||
\end{align*}
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||||
Bleibt zu zeigen: \(q(e_i) = \frac{\delta_n}{\delta_{n-1}}\) -- Wir wissen bereits: \(e_k \in f_k + V_{k-1}\;\forall k=1,\dots,n\). Die Basiswechselmatrix von \(F = (f_1,\dots, f_n)\) zu \(\mathcal{E} = (e_1, \dots, e_n)\) sieht so aus:
|
||||
Bleibt zu zeigen: \(q(e_i) = \frac{\delta_n}{\delta_{n-1}}\). Wir wissen bereits: \(e_k \in f_k + V_{k-1}\;\forall k=1,\dots,n\). Die Basiswechselmatrix von \(F = (f_1,\dots, f_n)\) zu \(\mathcal{E} = (e_1, \dots, e_n)\) sieht so aus:
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||||
\[ S=
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||||
\begin{pmatrix}
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||||
1 & & * \\
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||||
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@ -3130,175 +3124,168 @@ Der Satz "uber die Existenz von Orthogonalbasen ist nicht besonders konstruktiv,
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|||
$f_1=\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\\\end{pmatrix},\;f_2=\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 1\\\end{pmatrix},\;f_3=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\\\end{pmatrix}$
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||||
\end{exa}
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||||
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||||
Geometrische Interpreatation:
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||||
Geometrische Interpretation:
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\begin{relation}
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||||
Man subtrahiert passende Linearkombinationen von bereits orthogonalisierten
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||||
Vektoren, um Orthogonalit"at erzwingen.
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||||
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||||
Vektoren, um Orthogonalit"at zu erzwingen.
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||||
\end{relation}
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||||
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||||
\begin{notte}
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||||
Symetrische Bilinearformen entsprechen ihren quadratischen Formen:
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\[
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||||
b(x,y) = \frac{1}{2}(q(x+y)-q(x)-q(y))
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||||
\].
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||||
\]
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||||
Daher benutzen wir diese Begriffe fortan Synonym.
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||||
\end{notte}
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||||
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||||
Sei \(\mathcal{E} = (e_1,\dots,e_n)\) eine Orthogonalbasis bez"uglich \(b\):
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||||
\[M_{\mathcal{E}}(b) =
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||||
\begin{pmatrix}
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||||
q(e_1) & & 0 \\
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||||
& \ddots & \\
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||||
0 & & q(e_n)
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||||
\end{pmatrix}
|
||||
\]
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||||
Wenn \(K=\mathbb{R}\), kann man durch Streckungen und Permutationen der Basisvektoren eine Basis \(\mathcal{E}' = (e_1',\dots,e_n')\) finden, so dass \(M_{\mathcal{E}'}(b) = \mDiag (1,\dots,1,-1,\dots,-1,0,\dots,0)\), indem wir \(e_j' = \lambda_ie_i\) setzen. Dann soll \(q(e_j') \in \{1, -1, 0\}\) sein, also: \[q(e_j') = q(\lambda_ie_i) = \lambda_i^2q(e_i) \implies \lambda_i =
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||||
\begin{cases}
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||||
1 & \text{ falls } q(e_i) = 0 \\
|
||||
\sqrt{\frac{1}{q(e_i)}} & \text{ falls } q(e_i) > 0 \\
|
||||
\sqrt{\frac{-1}{q(e_i)}} & \text{ falls } q(e_i) < 0
|
||||
\end{cases}
|
||||
\]
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||||
Man bemerkt: Wenn \(K=\mathbb{C}\), dann kann man das \(\lambda_i\) auch komplex machen und somit eine Matrix der Form \(M_{\mathcal{E}'}(b) = \mDiag (1,\dots,1, 0,\dots, 0)\) erreichen.
|
||||
\begin{relation}
|
||||
Diagonalformen f"ur $b$ entsprechen der Tatsache, dass $q$ in Koordinaten derr
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||||
Diagonalformen f"ur $b$ entsprechen der Tatsache, dass $q$ in Koordinaten der
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||||
Basis $\mathcal{E}'$ eine Summe von Quadraten ist.
|
||||
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||||
Wir haben bereits gesehen, dass bei Basiswechsel die Matrix der Bilinearform
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||||
so transformiert:
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||||
\[
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||||
M_{B'}=S^T\cdot M_B(b)\cdot S \\
|
||||
M_{B'}=S^T\cdot M_B(b)\cdot S\qquad (S = M_B^{B'}) \\
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||||
\implies \mRg M_B(b)=\mRg (b) \text{ ist eine Invariante von } b
|
||||
\]
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||||
In Diagonalform ist der Rang gleich der Anzahl von Nicht-Null-Eintr"agen. In
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||||
$\mathbb{}$ folgt: Der Rang ist die einzige IInvariante der (symetrsichen)
|
||||
Bilinearforme''.
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||||
$\mathbb{C}$ folgt: Der Rang ist die einzige Invariante der (symmetrsichen)
|
||||
Bilinearformen.
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||||
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||||
"Uber $\mathbb{R}$ taucht die folgende Frage auf: Ist die Anzahl von $1$ und
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||||
$-1$ auf der Diagonale unabh"angig von der Basis?
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||||
\end{relation}
|
||||
|
||||
\begin{definition}{Positive Definiertheit}{}
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||||
Sei $V$ ein $\mathbb{R}$ Vektorraum , $q(x)=b(x,y)$ eine quadratische Form auf
|
||||
V. Sei $U\supseteq V$ ein Untervektorraum.
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||||
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||||
Sei $V$ ein $\mathbb{R}$ Vektorraum , $q(x)=b(x,x)$ eine quadratische Form auf
|
||||
\(V\) (zu einer symmetrischen Bilinearform). Sei $U\subseteq V$ ein Untervektorraum.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $q$ heisst \textbf{positiv definit} auf $U$, wenn $q(u) > 0\; \forall
|
||||
\item $q$ hei"st \emph{positiv definit} auf $U$, wenn $q(u) > 0\; \forall
|
||||
u\in U\setminus\{0\}$
|
||||
\item $q$ heisst \textbf{negativ definit} auf $U$, wenn $q(u) < 0\; \forall
|
||||
\item $q$ hei"st \emph{negativ definit} auf $U$, wenn $q(u) < 0\; \forall
|
||||
u\in U\setminus\{0\}$
|
||||
\item $q$ heisst \textbf{indefinit} sonst
|
||||
\item $q$ hei"st \emph{indefinit} sonst
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{exa}
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||||
\(V = \mathbb{R}^3, b(x, y) = x^T\cdot\mDiag (1, 1, -1)\cdot y, q(x) = b(x,x) = x_1^2 + x_2^2 - x_3^2\):
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item \(q\) ist negativ definit auf \(\spn \{e_3\}\), weil \(q(\lambda\cdot e_3) = \lambda^2q(e_3) = -\lambda^2 < 0\)
|
||||
\item \(q\) ist positiv definit auf \(\spn \{e_1, e_2\}\), weil \(q(x_1e_1 + x_2e_2) = x_1^2 + x_2^2 > 0\)
|
||||
\item \(q\) ist indefinit auf \(\mathbb{R}^3\), weil es Vektoren gibt mit \(q(x) > 0\) und welche mit \(q(x) < 0\)
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{exa}
|
||||
\begin{relation}
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||||
Wenn ....
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||||
Allgemeiner: Wenn \[M_{\mathcal{E}'}(b) = \mDiag (\underbrace{1,\dots,1}_{r_+},\underbrace{-1,\dots,-1}_{r_-},0,\dots,0)\] Dann ist \(q(x) = b(x,x)\) positiv definit auf \(\spn\{e_1,\dots,e_{r_+}\}\) und negativ definit auf \(\spn\{e_{r_++1},\dots,e_{r_++r_-}\}\)
|
||||
\end{relation}
|
||||
|
||||
\begin{satz}{Bestimmung von $r_+, r_-$ durch Definiertheit}
|
||||
Sei $V$ ein $\mathbb{R}$ Vektorraum, $b: V\times V \rightarrow \mathbb{R}$.
|
||||
Sei $\mathcal{E}$ eine Basis mit ...
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||||
|
||||
\begin{definition}{Signatur}{}
|
||||
Das Paar \((r_+,r_-)\) hei"st \emph{Signatur} von \(b\).
|
||||
\end{definition}
|
||||
\begin{exa}
|
||||
Die Minkowski-Bilinearform hat die Matrix \(\mDiag (1, -1, -1, -1)\) und Signatur \((1, 3)\).
|
||||
\end{exa}
|
||||
\begin{satz}{Bestimmung von $r_+, r_-$ durch Definitheit}
|
||||
Sei $V$ ein $\mathbb{R}$ Vektorraum, $b: V\times V \to \mathbb{R}$ eine symmetrische Bilinearform, \(\mathcal{E}'\) eine Basis in \(V\) mit \(M_{\mathcal{E}'}(b) = \mDiag (1,\dots,1,-1,\dots,-1,0,\dots,0)\).
|
||||
Dan gilt:
|
||||
\begin{align*}
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||||
r_+=\max
|
||||
r_+&=\max\{\dim U\mid U\subseteq\text{ Untervektorraum, } q \text{ positiv definit auf } U\} \\
|
||||
r_-&=\max\{\dim U\mid U\subset \text{ Untervektorraum, }q\text{ negativ definit auf } U\}
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{definition}{Signatur}{}
|
||||
Das Paar ($r_+,r_-$) heisst \textbf{Signatur} von $b$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
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||||
\begin{prof}
|
||||
Sei $U:=$...
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||||
Sei \(U:=\spn\{e_1,\dots,e_{r_+}\}\), \(q\) positiv definit auf \(U\). Dann ist \(\max\{\dim U\mid q\text{ positiv definit}\}\geq r_+\). Andererseits: Wenn \(W\subseteq V\) mit \(\dim W > r_+\), dann ist \(W\cap \spn\{e_{r_++1},\dots,e_n\}\neq \{0\}\) (denn nach der Dimensionsformel: \(\dim W + \dim \spn\{e_{r_++1},\dots,e_n\} = \dim W + n - r_+ > n = \dim V\)). Wenn \(v\neq 0\) ein Vektor aus diesem Durchschnitt ist, folgt \(v\in \{e_{r_++1},\dots,e_n\} \implies q(v)\leq 0\implies\) nicht positiv definit auf \(W\). Die Aussage f"ur \(r_-\) folgt durch Ersetzen \(q \rightarrow -q\).
|
||||
\end{prof}
|
||||
|
||||
\begin{satz}{Jakobi}{}
|
||||
\begin{satz}{Jacobi}{}
|
||||
Sei $V$ ein $\mathbb{R}$ Vektorraum, $b: V\times V \rightarrow \mathbb{R}$
|
||||
eine Bilinearforme, so dass: ...
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||||
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||||
wobei ....
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||||
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||||
Betrachte die Folge....
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||||
Dann gilt $r_-=\text{Anzahl der Vorzeichenwechsel in dieser Folge}$. Ein
|
||||
Vorzeichenwechsel liegt vor, wenn ....
|
||||
eine Bilinearform, so dass \[\delta_k = \det A_k \neq 0, \qquad k=1,\dots,n\]
|
||||
wobei \(A = M_B(b)\) die Matrix von \(b\) bez"uglich einer Basis \(B\) ist. Betrachte die Folge \((1 = \delta_0, \delta_1,\dots,\delta_n)\). Dann gilt: \(r_- = \) Anzahl der Vorzeichnenwechsel in dieser Folge. Ein Vorzeichenwechsel liegt vor, wenn \(\delta_i\cdot\delta_{i+1} < 0\).
|
||||
\end{satz}
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||||
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||||
\begin{prof}
|
||||
....
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||||
Nach dem Gram-Schmidt-Verfahren existiert eine Orthogonalbasis \(\mathcal{E}\) mit \(M_{\mathcal{E}}(b) = \mDiag (\frac{\delta_1}{\delta_0}, \frac{\delta_2}{\delta_1},\dots,\frac{\delta_n}{\delta_{n-1}})\). Nach dem Satz "uber die Signatur gilt: \(r_- = \) Anzahl von negativen Zahlen in der Folge \((\frac{\delta_1}{\delta_0},\frac{\delta_2}{\delta_1},\dots,\frac{\delta_n}{\delta_{n-1}})\)
|
||||
\end{prof}
|
||||
|
||||
\begin{korollar}{Sylvester-Kriterium}
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||||
Sei $V$ ein $\mathbb{R}$ Vektorraum, $b: V\times V \rightarrow \mathbb{R}$
|
||||
eine symetrische Bilinearform, $A=M_B(b)$, $\delta_k = \det A_k$ - Eckminore
|
||||
von $A$.
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||||
eine symmetrische Bilinearform (\(q\) die zugeh"orige quadratische Form), $A=M_B(b)$, $\delta_k = \det A_k$ die Eckminore von $A$.
|
||||
|
||||
Es giltL $q$ positiv definiert auf $v \iff \delta_K > 0 \forall k=\bar{1,n}$.
|
||||
Es gilt: $q$ positiv definit auf $V \iff \delta_K > 0 \forall k=\overline{1,n}$.
|
||||
\end{korollar}
|
||||
|
||||
\begin{prof}
|
||||
Wenn $q$ pos. def. $\iff$ alle $\delta_k\not= 0$, weil man sonst einen Vektor
|
||||
$v\in V$ mit $q(v)=0$ h"atte ($q$ w"ahre ausgeartet); wenden nun den Satz von
|
||||
Jakobi an.
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Wenn $q$ positiv definit $\implies$ alle $\delta_k\neq 0$, weil man sonst einen Vektor
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$v\in V, v\neq 0$ mit $q(v)=0$ h"atte ($q$ w"are ausgeartet); wenden nun den Satz von
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Jacobi an.
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\end{prof}
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\begin{exa}
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\end{exa}
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\chapter{Euklidische Vektorr"aume}
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\label{sec:evr}
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\begin{definition}{Euklidischer Vektorraum}{}
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Sei $V$ ein $\mathbb{R}$ Vektorraum. Das Paar $(V, \langle\cdot,\cdot\rangle)$ heisst
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euklidischer Vektorraum, wenn $\langle\cdot,\rangle: V\times V \rightarrow \mathbb{R}$
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eine positiv definierte Bilinearform ist. $\langle\cdot,\rangle$ heisst Skalarprodukt.
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Skalarprodukt liefert die geometrische Struktur auf $V$, die uns erlaubt, von
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L"angen der Vektoren und Winkeln zwischen Vektoren zu reden.
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Sei $V$ ein $\mathbb{R}$ Vektorraum. Das Paar $(V, \langle\cdot,\cdot\rangle)$ hei"st
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euklidischer Vektorraum, wenn $\langle\cdot,\cdot\rangle: V\times V \rightarrow \mathbb{R}$
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eine positiv definite Bilinearform ist. $\langle\cdot,\cdot\rangle$ hei"st Skalarprodukt.
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\end{definition}
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Skalarprodukt liefert die geometrische Struktur auf $V$, die uns erlaubt, von L"angen der Vektoren und Winkeln zwischen Vektoren zu reden.
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\begin{definition}{Orthogonalit"at}{}
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$x,y\in V$ heissen \textbf{orthogonal}, wenn $\langle x,y\rangle=0$
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$x,y\in V$ hei"sen \emph{orthogonal}, wenn $\langle x,y\rangle=0$
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\end{definition}
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\begin{definition}{Norm / L"ange}{}
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Die Norm / L"ange eines Vektors \(x\) in \((V, \langle\cdot , \cdot\rangle)\) ist \(||x|| = \sqrt{\langle x,x\rangle}\).
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\end{definition}
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\begin{exa}
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\(\mathbb{R}^n\) mit \(\langle x, y\rangle_{st} = \sum_{i=1}^nx_iy_i\) ist ein euklidischer VR.
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\end{exa}
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\begin{definition}{Orthogonalit"at}{}
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$x,y\in V$ heissen \textbf{orthogonal}, wenn $\langle x,y \rangle=0$
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\end{definition}
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\begin{satz}{Cauchy Schwarz}{}
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\[\langle x,y \rangle\leq ||x||\cdot ||y||\]
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\begin{satz}{Cauchy-Schwarz-Gleichung}{}
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\[|\langle x,y \rangle |\leq ||x||\cdot ||y||\] in einem euklidischen Vektorraum \(V\).
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\end{satz}
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\begin{prof}
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Wenn \(x, y\) linear abh"angig sind, z.B. \(x = \lambda y\), dann ist \(|\langle x, y\rangle | = ||x||\cdot ||y||\). Wenn \(x, y\) linear unabh"angig sind, dann ist \[A =
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\begin{pmatrix}
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\langle x, x\rangle & \langle x, y\rangle \\
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\langle x, y\rangle & \langle y, y\rangle
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\end{pmatrix}
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\] die Matrix von \(\langle\cdot , \cdot\rangle\) auf dem Vektorraum \(\spn\{x, y\}\). Nach dem Sylvesterkriterium gilt: \(0 < \det A = ||x||^2\cdot ||y||^2 - \langle x, y\rangle ^2\).
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\end{prof}
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\begin{exa}
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\(V = C([0, 1], \mathbb{R}), \langle f, g\rangle := \int_0^1f(x)g(x)\dif x \forall f, g \in V\)
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\begin{align*}
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(\int_0^1f(x)g(x)\dif x)^2 &\leq \int f(x)^2\dif x\int g(x)^2\dif x \\
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\left(\int_0^1f(x)g(x)\dif x\right)^2 &\leq \sqrt{\int_0^1 f(x)^2\dif x\int_0^1 g(x)^2\dif x} \\
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\implies (\int_0^1 f(x))
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\end{align*}
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\end{exa}
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\begin{definition}{Winkel}{}
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Sei $(V, \langle {\cdot,\cdot} \rangle)$ ein eukl. VR. Der \textbf{Winkel}
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Sei $(V, \langle {\cdot,\cdot} \rangle)$ ein euklidischer Vektorraum. Der \emph{Winkel}
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$\Theta_{v,w}$ zwischen zwei Winkeln $v,w\in V$ wird gegeben durch die Gleichung: \[\cos
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\Theta_{v,w} = \frac{\langle{v,w}}{||v||\cdot ||w||}\]
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\Theta_{v,w} = \frac{\langle v, w\rangle}{||v||\cdot ||w||}\]
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\end{definition}
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\begin{definition}{Gram Matrix}{}
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Die \textbf{Gram Matrix} der Vektoren $v_1, \ldots, v_n \in V$ ist definiert
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Die \emph{Gram Matrix} der Vektoren $v_1, \ldots, v_n \in V$ ist definiert
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als die Matrix ihrer Paarweisen Skalarprodukte:
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\[G(v_1, \ldots, v_n):= (\langle {v_i, v_j} \rangle)_{i,j=1\ldots n}\]
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\[G(v_1, \ldots, v_n):= (\langle v_i, v_j \rangle)_{i,j=1\ldots n}\]
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\end{definition}
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\begin{satz}{Positivit"at der Determinante der Gram Matrix}
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Es gilt stets $\det G(v_1, \ldots, v_n) \geq 0$. Gleichheit gilt wenn Vektoren
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\begin{satz}{Positivit"at der Determinante der Gram Matrix}{}
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Es gilt stets $\det G(v_1, \ldots, v_n) \geq 0$. Gleichheit gilt genau dann, wenn \(v_1,\dots,v_n\)
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linear abha"ngig sind.
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\end{satz}
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\begin{prof}
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Wenn eine nichttriviale Linearkombination \(\sum_{i=1}^k \lambda_iv_i\) gleich null ist, dann gilt aufgrund der Linearit"at von \(\langle ., .\rangle\) in der 1. Variable \begin{align*}\sum_{i=1}^k \lambda_i\langle v_i, v_j\rangle &= 0 \forall j\in \{1, \dots, n\} \\ \implies \det G(v_1, \dots, v_n) &= 0\end{align*} (Linearit"at von \(\det\) in Zeilen)
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Sind \(v_1, \dots, v_k\) linear unabh"angig, dann bilden sie eine Basis ihrer linearen H"ulle \(U = span(v_1, \dots, v_k)\) (mit \(k \in \{1,\dots, n\}\)). Die Gram-Matrix ist genau die Matrix des Skalarproduktes bez"uglich dieser Basis. Nach dem Silvester-Kriterium ist sie positiv.
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\end{prof}
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\begin{definition}{Orthonormalbasis}{}
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Eine Basis $\mathcal{E} = \{e_1, \ldots, e_n\} \subset V$ heisst
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\textbf{Orthonomalbasis}, wenn $G(e_1, \ldots, e_n) = 1_n$ ist. ($\iff \langle
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